Théorème de Noether généralisé

Question

Le texte que je lis prétend que s'il existe une symétrie générée par $Q$, et sous cette transformation un opérateur transforme par$$f\rightarrow f +\delta f,$$ puis par le théorème de Noether $$\delta f = i\epsilon[Q, f].$$

Cependant, ce n'est pas le théorème de Noether auquel je suis habitué, que je vois similaire à cette déclaration, mais uniquement pour les traductions temporelles (avec générateur $H$). Comment montrer cette généralisation du théorème de Noether?

Answer 1

Cela ne semble pas être précisément l'énoncé du théorème de Noether, mais la conséquence de l'équation de mouvement de Liouville: $$ \frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + i \{Q, f\} $$ Où $\{,\}$-dénote un crochet de Poisson. Habituellement, vous verrez Hamiltonian$H$ au lieu de $Q$. Cependant, toute charge peut être traitée de la même manière que Hamiltionian. Et pour les petits$\epsilon$, et $f$ ne dépendant pas explicitement du temps, il donne: $$ \delta f = i \epsilon \{Q, f\} $$ Comme revendiqué

Answer 2

Je pense que vous voudrez peut-être jeter un coup d'œil à

Baez, JC (2020). Aller au fond du théorème de Noether. préimpression arXiv arXiv: 2006.14741.

où je crois qu'il discute d'une version du théorème de Noether formulée de cette façon dans la section 2.

À la page 15 en particulier, il traite d'une version du théorème de Noether qui est exprimé comme le crochet de Poisson de deux choses étant nul. Tu n'as pas défini$\epsilon$ ci-dessus, mais je pense que cela fait peut-être partie du calcul de notation que vous utilisez (et pour l'instant je l'ignore toujours), et pourrait être équivalent à ce qui est écrit dans l'article de Baez.

En fait, la différence entre les deux me rappelle quelque chose que j'ai lu récemment à cette solution concernant la pensée des dérivations (la dernière ligne juste avant la ligne Preuve de [1]), qui pourrait expliquer la transition.