Transversale et intersection de deux feuillages

Oct 28 2020

Laisser $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$être deux feuillages d'une variété. On dit que$\mathcal{F}_1\pitchfork \mathcal{F}_2$ si $T_p L^{(1)}+T_pL^{(2)}=T_p M$ pour toute $p\in M$, où $L^{(1)}$ et $L^{(2)}$ sont les feuilles auge $p$.

Maintenant si nous avons ça $\mathcal{F_1}\pitchfork \mathcal{F}_2$, nous définissons $\mathcal{F}_1\cap \mathcal{F}_2$ être la foliation où les feuilles sont les composants connectés de $L^{(1)}\cap L^{(2)}$. Nous voulons maintenant vérifier qu'il s'agit d'une foliation avec codimension la somme des codimensions de$\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$.

Je pense que l'idée est d'utiliser le théorème de la fonction implicite mais je n'aboutis à rien dans le concret. C'est prendre des graphiques feuilletés pour$\mathcal{F}_1$, $(x_1,...,x_k,y_1,...,y_{m-k})$et des graphiques feuilletés pour $\mathcal{F}^2$, $(w_1,...,w_k',z_1,...,z_{m-k'})$ tel que $p\cap L^{(1)}\cap L^{(2)}=\{p\in U: y_1(p)=ct,...,y_{m-k}(p)=ct,z_1(p)=ct,...,z_{m-k'}(p)=ct\}$. Maintenant, à partir de cela, j'ai essayé de construire un nouveau diagramme de coordonnées afin que nous obtenions le résultat, mais je ne suis arrivé nulle part.

Toute aide ou astuce à ce sujet est précisée. Merci d'avance.

Tentative de solution:

La première chose que nous notons est que depuis $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{F}_2$ sont des feuillages que nous aurons que les feuilles de ce nouveau feuilletage couvriront $M$, sont disjoints puisque nous prenons les composants connectés, et seront connectés par chemin puisque nous prenons les composants connectés et $M$est connecté localement au chemin. Nous devons maintenant trouver les graphiques feuilletés de$\mathcal{F}$et vérifiez sa dimension. Laisser$p\in M$, notez que depuis $L^{(1)}$ et $L^{(2)}$ sont transversales nous aurons que $L^{(2)}\cap L^{(1)}$ est une sous-variété de $L^{(1)}$En utilisant la forme normale locale, nous savons qu'il existe un ensemble ouvert de $p\in L^{(2)}, U,$ et diagramme de coordonnées $(V,\phi)=(V,x_1,...,x_k)$ pour $L^{(1)}$ tel que $U\cap L^{(1)}=\{p\in V : x^{k'}(p)=...=x^k(p)=0\}$, où $k'=dim L_1 -(dim L_1 + dim L_2 -dim M)= codim \mathcal{F}_2$. Notez maintenant que la façon dont nous avons donné la structure multiple à$L^{(1)}$ était que la topologie était générée par les plaques $L^{(1)}\cap U'$ où $U'$ était une carte feuilletée pour $p$, et le diagramme de coordonnées était la restriction du diagramme feuilleté aux composants non constants. Nous avons donc le$(x_1,...,x_k)$ sont associés à un graphique de $M$, $(x^1,...,x^k,y^1,...,y^{d-k})$ de telle sorte que les composants connectés de $L^{(1)}\cap U'$ sont de la forme $\{p\in U' : y^1(p)=ct,...,y^{d-k}(p)=ct\}$. Maintenant nous avons$U$ est une plaque pour $U''\cap L^{(2)}$. Nous savons aussi que$p$ sera dans un composant connecté de $L^{(1)}\cap L^{(2)}$, que nous désignons maintenant par $L$. Si l'on considère la carte feuilletée comme$(W:=U'\cap U'',x^1,...,x^k,y^1,...,y^{d-k})$ nous aurons que les composants connectés de $W\cup L$ sont de la forme $\{p\in W: y^1(p)=ct,...,y^{d-k}(p)=ct,x^{k-k'}(p)=,...,x^k(p)=0\}$. Pour voir la déclaration sur la dimension, nous notons que$codim \mathcal{F}_1+ dim L^{(1)}-(dim L^{(1)}+dim L^{(2)}-dim M)=codim\mathcal{F}_1 +codim \mathcal{F}_2 $.

Réponses

1 DIdier_ Oct 29 2020 at 05:20

Voici, je pense, une réponse. Laisser$\mathcal{D}_1$ être la distribution tangente de la foliation $\mathcal{F}_1$ et $\mathcal{D}_2$ ceux de $\mathcal{F}_2$. Ces distributions sont totalement intégrables, c'est-à-dire$[\mathcal{D}_i,\mathcal{D}_i]\subset \mathcal{D}_i$. Laisser$\mathcal{D} = \mathcal{D}_1\cap \mathcal{D}_2$être la distribution d'intersection. Il a un rang constant comme à tout$p\in M$, $\dim\mathcal{D}_p = \dim\left({\mathcal{D}_1}_p\cap{\mathcal{D}_2}_p\right)=\dim{\mathcal{D}_1}_p+\dim{\mathcal{D}_2}_p-\dim\left({\mathcal{D}_1}_p+{\mathcal{D}_2}_p\right)$, puis $\mathrm{codim}\mathcal{D}_p = \mathrm{codim}{\mathcal{D}_1}_p + \mathrm{codim}{\mathcal{D}_2}_p$ (rappeler que $\mathcal{F}_1\pitchfork \mathcal{F}_2$)

Maintenant, montrons que $\mathcal{D}$ est intégrable, c'est-à-dire $[\mathcal{D},\mathcal{D}]\subset \mathcal{D}$. Laisser$X,Y$ être des champs vectoriels dans $\mathcal{D}$. Comme$\mathcal{D}\subset \mathcal{D}_1$, $[X,Y]$ est dans un champ vectoriel $\mathcal{D}_1$. Symétriquement, c'est un champ vectoriel$\mathcal{D}_2$. Ensuite, c'est un champ vectoriel dans$\mathcal{D}_1 \cap \mathcal{D}_2 = \mathcal{D}$, et $[\mathcal{D},\mathcal{D}]\subset \mathcal{D}$. D'après le théorème de Frobenius, il existe une foliation$\mathcal{F}$ ces faisceaux tangents sont $\mathcal{D}$. Les sous-variétés intégrales sont les intersections des feuilles des feuillages précédents.

Modifier Voici une autre stratégie. Tout d'abord, montrez que l'intersection de deux sous-variétés transversales est une sous-variété. Laisser$N$ et $N'$ être deux sous-variétés transversales avec $\mathrm{codim} N= p, \mathrm{codim} N' =q$. Laisser$x \in N\cap N'$être fixé. Prenez un graphique$\varphi : U \to \mathbb{R}^n$ centré sur $x$. ensuite$\varphi (U\cap N)$ et $\varphi(U\cap N')$ sont des sous-variétés de $\varphi(U)$ de codimension $p$ et $q$. Il existe$f = (f_1,\ldots,f_p): \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p$ et $g=(g_1,\ldots,g_q): \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^q$ submersions lisses telles que $\varphi(U\cap N) = f^{-1}(\{0\})$ et $\varphi(U\cap N')= g^{-1}(\{0\})$. Laisser$h = (f_1,\ldots,f_p,g_1,\ldots,g_q) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{p+q}$. La condition de transversalité assure que$h$ est une sumbersion, et donc, $\varphi(U\cap\left(N\cap N'\right)) = h^{-1}(\{0\})$ est une sous-variété de $U\cap \mathbb{R}^n$ de codimension $p+q$, et $U\cap (N \cap N') = \varphi^{-1}(h^{-1}(\{0\}) = (h\circ\varphi)^{-1}(\{0\})$ est une sous-variété lisse de codimension $p+q$.

Laisser $\mathcal{F}^1$ et $\mathcal{F}^2$ être deux feuillages lisses transversaux sur $M^n$. Si$L^1$ et $L^2$ sont des feuilles de $\mathcal{F}^1$ et $\mathcal{F}^2$, et si $L^1\cap L^2 \neq 0$, alors le résultat ci-dessus montre que $L^1\cap L^2$ est une sous-variété lisse de $M$ avec codimension $\mathrm{codim}L_1 + \mathrm{codim}L_2$. Comme la dimension des feuilles d'une foliation est constante, si deux feuilles transversales se croisent, leur intersection est une sous-variété de dimension$n - \mathrm{codim}\mathcal{F}^1 -\mathrm{codim}\mathcal{F}^2$.