Un CWT inverse intégral

Question

L'inversion d'état icwt docs de MATLAB doit être effectuée par une seule intégrale:

$$ f(t) = 2 \Re e\left\{ \frac{1}{C_{\psi, \delta}} \int_0^\infty \left< f(t), \psi(t) \right> \frac{da}{a} \tag{1} \right\} $$

D'où vient cette expression et comment l'intégration $b$(traduction) éliminé (comme dans la formule de Wiki )? Tient-il si le calcul discrètement sur log-distribué$a$ (par exemple $(2^{1/32})^{[1, 2, ...]}$)?

Answer 1

La formule est fondée sur le fait que l'ondelette est analytique ou n'est pas nulle uniquement sur des fréquences non négatives:${\hat\psi} (\omega < 0) = 0$. (Notez que toutes les ondelettes ont également${\hat \psi (0)}=0$selon le critère de recevabilité). D'après Daubechies et al ,

$$ \begin{align} \int_0^\infty W_f(a, b) a^{-1} da & = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{0}^{\infty}{\hat f}(\xi) \overline{ {\hat \psi}(a\xi)} a^{-1} da d\xi \tag{1a} \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty \int_0^\infty {\hat f}(\xi) \overline{ {\hat \psi} (a\xi)} e^{jb\xi} a^{-1} da d\xi \tag{1b} \\ &= \int_0^\infty \overline{ {\hat \psi}(z)} \frac{dz}{z} \cdot \frac{1}{2\pi} \int_0^\infty {\hat f}(\xi) e^{jb\xi} d\xi \tag{1c} \\ \end{align} $$

où un changement plutôt déroutant de variables a été remplacé par un changement plus clair, $z=a\xi,\ dz=\xi da$. Notez que cette cov n'est valide que si les intégrales partagent les limites, ce qui est activé par$\psi$l'analyticité de; autrement,$z$ intégrerait $-\infty $ à $\infty$, mais $z$ comprend $a$, qui ne couvre que $0$ à $\infty$. Une identité a également été utilisée pour diviser les intégrales.

En supposant $f$ est réel, nous avons ${\hat f(\xi)} = \overline{\hat f (-\xi)}$, donc de $0$ à $\infty$,

$$ \frac{1}{4\pi} \Re e \left\{ \int_0^\infty {\hat f(\xi)} e^{jb\xi} d\xi \right\} = f(b), $$

et réglage $C_\psi = \int_0^\infty \overline{ {\hat \psi (z)}} z^{-1} dz$ dérive ainsi

$$ \begin{align} f(b) &= \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty W_f(a, b) a^{-1} da \right\} \tag{2a} \\ &= \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty f \star \overline{\psi_a(b)} \frac{da}{a} \right\} \tag{2b} \\ &= \boxed{ \frac{1}{2} \Re e \left\{ \frac{1}{C_\psi} \int_0^\infty \left< f(t), \psi(t) \right> \frac{da}{a} \right\} } \tag{2c} \\ \end{align} $$

Depuis $W_f$ balaie $b$ sur tout $t$, ci-dessus vaut de manière équivalente pour $f(t)$.

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Le papier que vous avez lié utilise $a^{-3/2}$- En effet, comme il suppose une norme L2 sur l'ondelette, alors que MATLAB utilise L1; plus d'informations peuvent être trouvées ici .

Que dire de la $\delta$? -- Le$\delta$ vient de MATLAB écrivant l'expression comme un cas particulier de l'inverse plus général, comme il est montré ci-dessus près de lui, avec $\left<f, g\right>$, qui est dérivé ici .

et le $2 \Re e$? - Bonne question - peut-être celle de MATLAB$C_{\psi, \delta}$est un peu différent, mais selon la définition ci-dessus, nous divisons clairement par deux, pas multiplions. En cas de doute, essayez les deux.

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Interprétation : il est utile d'observer que$b$dans toutes les dérivations peuvent être remplacées par une constante - de sorte que la relation est ponctuelle ; si nous intégrons le long$a$, c'est-à-dire une colonne de la représentation temps-fréquence 2D, on récupère la fonction à ce point, $f(b)$.

Remarquez que dans l'iCWT à double intégrale, nous utilisons une double ondelette pour «défaire» le produit interne avec l'ondelette CWT, analogue à $e^{+j\omega t}$ dans $\mathcal{F}^{-1}$; ici, nous n'utilisons aucun noyau inverseur - la transformation s'annule lorsqu'elle est intégrée à toutes les échelles. Cela implique une propriété de symétrie sur l'ondelette$\psi$dans le codage des informations à travers les échelles - même si je ne suis pas sûr de savoir comment cela fonctionne exactement; le plus important est l'analyticité qui le permet en premier lieu, on peut donc y chercher une réponse.

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Boîtier discret avec distribution exponentielle $a$

À partir de la même page de papier lié, le cas linéaire discrétisé lit

$$ f(b) \approx \frac{1}{2} \Re e \left\{ C_\psi^{-1} \sum_k W_f (a_k, b) \frac{(\Delta a)_k}{a_k} \right\}, \tag{3} $$

avec $(\Delta a)_k$ prendre le rôle de $da$. Pour le cas linéaire,$(\Delta a)_k = \Delta a$, mais pas pour le cas du journal, car la taille de l'incrément augmente pour plus $k$. C'est la seule distinction entre log et linéaire.

En pratique, cependant, il est préférable d'utiliser directement la transformation discrétisée à l'échelle logarithmique - qui dérive comme suit:

$$ \begin{align} & z = e^a, \ dz = a da \\ & \frac{da}{a^2} = \frac{d \ln (z)}{z} \tag{4} \end{align} $$

Supposer $z(a) = 2^{a/32}$. Notez que le log-plot d'une échelle exponentielle est linéaire, donc la différence$\Delta(\ln (z))$ ou $d(\ln (z))$est constant et égal à$\ln (z(1))da$. Pour mieux voir cela, dérivons directement pour cet exemple, en utilisant$n_v$ pour "nombre de voix":

$$ z(a) = 2^{a/n_v} \rightarrow dz(a) = z \frac{\ln(2)}{n_v} da = \ln(a_0)da \tag{5} $$

Lors de la discrétisation, $da=1$, et nous nous retrouvons avec

$$ \boxed{f[] \approx \frac{\ln (a_0)}{2 C_\psi} \Re e \left\{\sum_{k=1}^{K} \frac{1}{a_0^k} W_f (a_0^k, .) \right\} } \tag{6} $$

identique à Mallat Eq 4.67 (notez que sa dérivation est pour une double intégrale, mais le même argument de mise à l'échelle s'applique ici).