Un problème de calcul facile

Question

Voici la question - Trouvez l'aire maximale d'un triangle isocèle inscrit dans l'ellipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. Mon professeur l'a résolu en considérant deux points arbitraires sur l'ellipse comme des sommets du triangle, étant$(a\cos\theta, b\sin \theta)$ et $(a\cos\theta, -b\sin \theta)$. (Disons simplement$\theta$ est thêta) puis a procédé aux tests dérivés (ce que j'ai compris) Mais, il n'a pas indiqué ce que notre $\theta$était, et a déclaré que ces points se trouvent toujours sur une ellipse. Pourquoi ça? Et même s'ils le font, quelle est la garantie que les points d'une telle forme seront nos sommets requis? Encore une chose, j'apprécierais que vous suggériez une autre façon de résoudre ce problème. Je vous remercie!

Answer 1

Si nous en croyons l'argument de symétrie, il est simple d'optimiser la zone:

$$A_1 = a b \sin \theta (1+ \cos \theta)$$

$$A_2 = a b (1+ \sin \theta) \cos \theta$$

$$0=\frac{\partial A_1}{\partial \theta}=a b [\cos\theta (1+ \cos \theta)-\sin^2 \theta] = ab [\cos^2 \theta - \sin^2 \theta + \cos \theta]$$

$$0=\frac{\partial A_2}{\partial \theta}=a b [\cos^2 \theta - \sin \theta(1+ \sin \theta)]= ab[\cos^2 \theta - \sin^2 \theta-\sin \theta]$$

Les solutions à la première équation incluent un minimum à $\theta=\pi$ et maxima à $\theta = \mp \frac{\pi}{3}$.

Les solutions à la deuxième équation incluent un minimum à $\theta=-\frac{\pi}{2}$ et maxima à $\theta = \frac{\pi}{6}$ et $\frac{5\pi}{6}.$

Intéressant, nous obtenons des solutions alignées sur le $x-$axe et le $y-$axe!

Vous pouvez certainement résoudre le problème en prenant trois points arbitraires sur l'ellipse, en les contraignant à se trouver sur des triangles iscocèles, puis en utilisant des multiplicateurs de Lagrange. Les solutions s'avéreront être celles trouvées ci-dessus.