Une conjecture concernant les progressions arithmétiques

Question

J'ai une conjecture dans mon esprit concernant les progressions arithmétiques, mais je n'arrive pas à le prouver. Je suis tout à fait sûr que la conjecture est vraie cependant.

La conjecture est la suivante: supposons que vous ayez un AP (progression arithmétique): $$a[n] = a[1] + (n-1)d$$ Maintenant, supposons que notre AP satisfait la propriété que la somme du premier $n$ termes de notre AP est égal à la somme du premier $m$ termes: $$S[n] = S[m]$$ mais $n \neq m$. Je veux prouver deux théorèmes:

• AP sous-jacent $a[n]$doit être symétrique par rapport au point auquel il devient nul.
• $S[n + m] = 0$

Un exemple numérique

Considérez l'AP: $$a[n] = 4 - n = (3, 2, 1, 0, -1, -2, -3)$$ Ceci est un AP avec une différence commune $d = -1$ et premier trimestre $a[1] = 3$: Voici le tracé MATLAB de cet AP . Comme vous pouvez le voir sur le graphique, notre AP est symétrique par rapport au point$n = 4$: $$a[4-1] = -a[4+1] = 1$$ $$a[4-2] = -a[4+2] = 2$$ $$a[4-3] = -a[4+3] = 3$$

Maintenant, voici la somme de nos AP: $$S[n] = (3,5,6,6,5,3,0)$$ Voici le graphique MATLAB de la sommation . Vous pouvez clairement voir que:$$S[1] = S[6] = 3$$ $$S[2] = S[5] = 5$$ $$S[3] = S[4] = 6$$

et vous pouvez également voir que: $$S[1 + 6] = S[7] = 0$$ $$S[2 + 5] = S[7] = 0$$ $$S[3 + 4] = S[7] = 0$$

Pouvez-vous s'il vous plaît m'aider avec ce problème? Toute orientation sera la bienvenue. Je suis en fait un étudiant en génie, donc mes compétences en mathématiques pures ne sont pas si fortes.

Merci!

Answer 1

Si $S_n=S_m$ avec $n\ne m$, c'est à dire $na_1+\frac{n(n-1)}{2}d=ma_1+\frac{m(m-1)}{2}d$, cela signifie que $a_1(n-m)+\frac{(n-m)(m+n-1)}{2}d=0$. Comme$n\ne m$, nous pouvons annuler $n-m$ et concluez:

$$a_1+\frac{m+n-1}{2}d=0$$

Maintenant:

$$\begin{array}{rcl}S_{m+n}&=&a_1(m+n)+\frac{(m+n)(m+n-1)}{2}d\\&=&(m+n)\left(a_1+\frac{m+n-1}{2}d\right)\\&=&(m+n)\cdot 0\\&=&0\end{array}$$

Quant à la symétrie, définissons $k=\frac{m+n+1}{2}$ et la formule ci-dessus signifie que $a_1+(k-1)d=0$. Maintenant, laisse$i$ être un nombre tel que $k+i$ et $k-i$ sont tous les deux des entiers:

$$a_{k+i}=a_1+(k+i-1)d=a_1+(k-1)d+id=id$$ $$a_{k-i}=a_1+(k-i-1)d=a_1+(k-1)d-id=-id$$

donc il s'ensuit que $a_{k-i}=-a_{k+i}$ - prouvant ainsi la symétrie.

Quoi $i$ sera dans la preuve ci-dessus dépend de si $m+n$ est étrange - auquel cas $k$ est un entier et $i$ est un entier, ou $m+n$ est pair, auquel cas $k$ est un "demi-entier" (c'est-à-dire un entier $+\frac{1}{2}$), et $i$ est également un "demi-entier".

La séquence que vous avez donnée à titre d'exemple est l'exemple du cas précédent:

$$3,2,1,0,-1,-2,-3,\ldots$$

et par exemple $S_1=S_6=3$. Cela signifie que,$k=\frac{1+6+1}{2}=4$ est un entier, et $a_k=a_1+(k-1)d=0$. (En effet,$a_4=0$.) De plus, prendre $i=1,2,3,\ldots$, nous concluons $a_5=-a_3,a_6=-a_2,a_7=-a_1$.

L'exemple de ce dernier cas est la séquence:

$$5,3,1,-1,-3,-5,-7\ldots$$

où par exemple $S_1=S_5=5$ et $k=\frac{1+5+1}{2}=3\frac{1}{2}$- un "demi-entier". En prenant$i=\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2},\ldots$ on a ça $a_4=-a_3, a_5=-a_2, a_6=-a_1$ - même si cette séquence ne prend jamais la valeur $0$.

Answer 2

D'accord. Que le premier terme soit$a$ et le ratio $r$. Puis la somme du premier$n$ les termes est $an+\frac{(n-1)n}{2}$ et la somme du premier $m$ les termes est $am+\frac{r(m-1)m}{2}$.

Supposons que ceux-ci soient égaux. ensuite$$an+\frac{r(n-1)n}{2}=am+\frac{r(m-1)m}{2}$$ ce qui équivaut à $$a(n-m)=r\frac{m^2-n^2-(m-n)}{2}=r\frac{(m-n)(m+n-1)}{2}=r\frac{(n-m)(1-m-n)}{2}$$

Car $n\neq m$, nous avons $a=\frac{r(1-m-n)}{2}$.

Ensuite, la somme du premier $m+n$ les termes est $$a(m+n)+\frac{r(m+n-1)(m+n)}{2}=(m+n)\times\frac{r(1-m-n)}{2}+\frac{r(m+n-1)(m+n)}{2}=-\frac{r(m+n-1)(m+n)}{2}+\frac{r(m+n-1)(m+n)}{2}=0$$

Pour prouver qu'il est symétrique, trouvons quand il devient $0$.

Si la $k^{th}$ terme est 0, alors $a+kr=0$, donc $\frac{r(1-m-n)}{2}+kr=0$, menant à $k=\frac{m+n-1}{2}$. Remarquez que pour que cela se produise,$m+n$doit être étrange. Quoi qu'il en soit, à partir de ce point, pour prouver la symétrie, prouvez simplement que le$|(\frac{m+n-1}{2}-x)^{th}$ terme$|$ est égal à $|(\frac{m+n-1}{2}+x)^{th}$ terme $|$ terme, en utilisant la formule (quand $m+n$ est impair)