Une propriété de fonction continue

Question

Laisser $f(x)$ être une fonction continue sur $\mathbb{R}$. Laisser$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ être une suite de nombres réels telle que $a_{n}\leq a_{n+1}$ pour tous $n\geq 1$.

Problème : pouvons-nous trouver un $\alpha>0$ tel que :

pour tous $n\geq 1$ il existe $b_{n}\in(a_{n},a_{n+1})$ avec la propriété $$\alpha\; f(b_{n}) (b_{n}-a_{n})\leq f(a_{n})$$

Ma pensée: si $f$ diminue sur $\mathbb{R}$ alors nous prenons juste $\alpha=1$, mais qu'en est-il d'un cas général où $f$ augmentant à certains intervalles et diminuant à d'autres?

Édité*

Ajouter: Selon les deux premières réponses ci-dessous, cela ne pourrait pas être vrai en général. Mais si$f(x)>0$ pour tous $x\in\mathbb{R}$.

Answer 1

Pas vrai. Laisser$f(x)=\sin (\pi x)$ et $a_n=n$. ensuite$f(a_n) =0$ et $\alpha f(b_n) (b_n-a_n) >0$ pour tous $b_n \in (a_n,a_{n+1})$ si $n$ est même.

Répondez à la question révisée. Le résultat est vrai dans ce cas. Prenez n'importe quel$\alpha>0$. $f(a_n) >0$ et $\alpha f(x) (x-a_n) \to 0$ comme $x$ diminue à $a_n$. Il existe donc$b_n \in (a_n,a_{n+1})$ telle que l’inégalité se maintient.

Answer 2

Non.

Laisser $a_n=0$ pour tous $n$. Nous avons ça$b_n=0\implies b_n-a_n=0$. Donc LHS est toujours$0$. Prendre$f(x)=-1$fonction constante. On a:$$0 \leq -1$$

Contradiction.