Unicité de Pushforward d'une carte fluide

Question

Voici ce que j'ai demandé à l'origine. J'ai édité ma question grâce au 0-ème utilisateur. J'ajouterai une nouvelle question après la question initiale.

(Question originale :)

Laisser $M, N$ être lisse variété de dimension $m,n$respectivement. Supposer$F: M \rightarrow N$est lisse. Pour$p \in M$, laisser $(U_1,\varphi_1)$ et $(U_2, \varphi_2)$ être des graphiques sur $p$, et pour $F(p) \in N$, laisser $(V_1, \psi_1)$ et $(V_2, \psi_2)$ être des graphiques sur $F(p)$. Pour plus de commodité, supposons$V_1 \supset F(U_1)$ et $V_2 \supset F(U_2)$.

Maintenant, définissez $\tilde F_1:= \psi_1 \circ F \circ \varphi_1^{-1}: \varphi_1(U_1) \rightarrow \psi(V_1)$et définir $\tilde F_2$également. Alors, suis-je garanti que$\tilde F_1 = \tilde F_2$? Si oui, j'apprécierais une petite explication.

(Retour à la nouvelle question :)

Si représentation de $\tilde F_1$ et $\tilde F_2$ n'est pas unique, alors y a-t-il une raison de croire que pushfoward $F_*$est unique? J'ai appris de la classe que la représentation matricielle de$F_*$ est identique à la représentation matricielle de $(\tilde F_1)_*$ et $(\tilde F_2)_*$, et si $\tilde F_1$ ne correspond pas $\tilde F_2$, alors il n'y a aucune raison de croire en l'unicité de $F_*$.

Answer 1

Souviens-toi que $F_*$est défini comme une carte sur les espaces tangents, vous devez donc utiliser les graphiques pour mettre également des coordonnées sur les espaces tangents. Tu dois juste détendre tout ça pour voir ça$F_*$ est en fait bien défini.

Je suppose que $\phi_i(p) = \psi_i(f(p))=0$pour plus de commodité. Rappeler que$F_{*p}\colon T_pM\to T_{f(p)}N$ est défini comme étant $(\psi_1^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_1)_{*0}\circ(\phi_1)_{*p}$. Vous vous demandez pourquoi c'est égal à$(\psi_2^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_2)_{*0}\circ(\phi_2)_{*p}$.

À ce stade, cela aidera à dessiner des diagrammes («carrés commutatifs») en suivant les mappages que je vous donne. Laisser$\phi_{12} = \phi_1\circ\phi_2^{-1}\colon \phi_2(U_1\cap U_2)\to \phi_1(U_1\cap U_2)$ et de même pour $\psi_{12}$. ensuite$\tilde F_1 = \psi_{12}\circ\tilde F_2\circ\phi_{12}^{-1}$. (Assurez-vous de bien travailler pour vous-même.) Par conséquent (prenez une grande respiration!)\begin{align*} (\psi_1^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_1)_{*0}\circ(\phi_1)_{*p} &= (\psi_1^{-1})_{*0}\circ (\psi_{12})_{*0}\circ(\tilde F_2)_{*0}\circ(\phi_{12}^{-1})_{*0}\circ(\phi_1)_{*p} \\ &= (\psi_2^{-1})_{*0}\circ (\tilde F_2)_{*0}\circ (\phi_2)_{*p}, \end{align*} comme demandé.