Unicité des mesures marginales

Question

Laisser $X\neq \{0\}$ et $Y\neq \{0\}$ être des espaces métriques séparables complets, $M(A)$ l'ensemble des mesures de Borel avec une variation totale finie de $A$ et $\Pi(\rho_1,\rho_2)$ l'ensemble de toutes les mesures de Borel dans $X\times Y$ avec marginaux $\rho_1$ dans $X$ et $\rho_2$ dans $Y$.

Étant donné une mesure $\eta\in M(X\times Y)$, est-il possible dans tous les cas de trouver deux paires de mesures différentes $\mu_1,\nu_1\in M(X)$, $\mu_2,\nu_2\in M(Y)$ tel que $\eta\in\Pi(\mu_1,\mu_2)$ et $\eta\in\Pi(\nu_1,\nu_2)$?

Answer 1

Je suppose que la question a déjà reçu une réponse dans les commentaires, mais il serait peut-être judicieux de la résumer dans une réponse formelle.

Le fait que l'OP se réfère à des espaces métriques est peut-être hors de propos, alors supposons simplement que $(X, \mathcal A)$ et $(Y, \mathcal B)$ sont des espaces mesurables, c'est-à-dire $X$ et $Y$ sont des ensembles, tandis que $\mathcal A$ et $\mathcal B$ sont $\sigma$-algèbres de sous-ensembles de $X$ et $Y$, respectivement.

On définit alors $\mathcal A\times \mathcal B$ être le plus petit $\sigma$-algèbre de sous-ensembles de $X\times Y$ contenant tous les ensembles du formulaire $A\times B$, où $A\in \mathcal A$, et $B\in \mathcal B$.

Compte tenu de toute mesure $\eta $ sur $(X\times Y, \mathcal A\times \mathcal B)$, qu'elle soit finie ou infinie, probabilité ou non, positive ou signée, les mesures marginales $\mu $ et $\nu $sont définis en termes de$\eta $ par $$ \mu (A) = \eta (A\times Y), \text { for all } A\in \mathcal A, $$ et $$ \nu (B) = \eta (X\times B), \text { for all } B\in \mathcal B. $$

Il est facile de voir que $\mu $ et $\nu $ sont des mesures sur $X$ et $Y$, respectivement. Ils sont clairement déterminés sans équivoque par$\eta $, de la même manière que la dérivée d'une fonction lisse $f$ est déterminé par $f$.

Ainsi, la question de savoir s'il existe une mesure $\eta $ couché simultanément dans $\Pi(\mu_1,\mu_2)$ et en $\Pi(\nu_1,\nu_2)$, pour deux paires de mesures différentes $\mu_1,\nu_1\in M(X)$, $\mu_2,\nu_2\in M(Y)$ a donc une réponse négative immédiate car les deux $\mu _1$ et $\nu _1$doit être le marginal de$\eta $ relatif à $X$, donc forcément $\mu _1=\nu _1$, et de même $\mu _2=\nu _2$.

C'est un peu comme demander s'il y a une fonction lisse $f$ dont la dérivée est à la fois égale à $g_1$ et à $g_2$, pour différentes fonctions $g_1$ et $g_2$!

Une question entièrement différente (et très pertinente) est de savoir s'il existe ou non deux mesures différentes $\eta _1$ et $\eta _2$ sur $X\times Y$ dont les marginaux sur $X$ et $Y$coïncider. En d'autres termes, si$\Pi(\mu,\nu)$ contient plus d'une mesure, une fois que l'on nous donne des mesures $\mu $ et $\nu $ sur $X$ et $Y$, respectivement.

Restreindre la discussion aux mesures de probabilité à partir de maintenant, et avant de discuter de l'unicité, il est bon de savoir que, étant donné $\mu $ et $\nu $, il existe toujours au moins une mesure dans $\Pi(\mu,\nu)$, à savoir la mesure du produit , désignée de diverses manières$\mu \times \nu $ ou $\mu \otimes \nu $. Cette mesure se caractérise par le fait que$$ (\mu \times \nu )(A\times B) = \mu (A)\nu (B), $$ pour tous $A$ dans $\mathcal A$, et $B$ dans $\mathcal B$. Incidemment, cette propriété, ainsi que l'hypothèse que$\mu (X)=1=\nu (Y)$, implique immédiatement que les mesures marginales pour $\mu \times \nu $ sont $\mu $ et $\nu $.

Le concept de mesures de produits se situe carrément au centre de la notion de variables aléatoires indépendantes : voir les projections$$ x:X\times Y\to X $$ et $$ y:X\times Y\to Y $$ en tant que variables aléatoires (ceci est particulièrement pertinent lorsque $X=Y=\mathbb R$), puis la probabilité $$ \mathbb P(x\in A\ \wedge\ y\in B) $$ est précisément la mesure de $A\times B$. Donc, cela coïncide toujours avec le produit des probabilités$$ \mathbb P(x\in A) \ \mathbb P(y\in B) $$ alias $\mu (A)\nu (B)$, ssi les variables aléatoires sont indépendantes, ssi la mesure de probabilité $X\times Y$ est la mesure du produit.

La covariance de $x$ et $y$, à savoir, $$ \text{cov}(x,y) = \mathbb E(xy) -\mathbb E(x)\mathbb E(y), $$ peut être calculé par $$ \text{cov}(x,y) = \int_{X\times Y}xy\,d(\mu \times \nu ) - \left(\int_Xx\,d\mu\right)\left(\int_Yy\,d\nu \right), $$ et disparaît facilement grâce au théorème de Fubini qui permet l'intégration itérée $$ \int_{X\times Y}xy\,d(\mu \times \nu ) = \int_Y\int_X xy\,d\mu \, d\nu . $$ En d'autres termes, si $x$ et $y$ sont indépendants, alors $\text{cov}(x,y) = 0$.

Revenons à la question d'unicité, supposons par exemple que $X=Y=[0,1]$, et cela $\mu =\nu =\lambda $, où $\lambda $est la mesure de Lebesgue. Comme déjà vu, la mesure du produit$\mu \times \nu $ (d'ailleurs la mesure de Lebesgue bidimensionnelle sur le carré) admet $\mu $ et $\nu $ comme marginaux.

Alors, quel serait un autre exemple de mesure en $\Pi(\mu,\nu)$? Eh bien, en voici un: étant donné tout sous-ensemble mesurable de Borel$E\subseteq [0,1]^2$, ensemble $$ \eta (E) = \lambda (\{x\in [0, 1]: (x, x)\in E\}). $$

Il est très facile de voir que les marginaux de $\eta $ sont encore $\mu $ et $\nu $, mais maintenant la mesure d'un ensemble de produits $A\times B$ ne peut plus être calculé uniquement en termes de $\mu (A)$ et $\nu (B)$. Pour voir par vous-même, essayez de prouver que$$ \eta ([0,1/2]\times [1/2, 1]) = 0 $$ (le quart supérieur gauche du carré n'a qu'un seul point en commun avec la diagonale!), tandis que $$ \eta ([0,1/2]\times [0,1/2]) = 1/2. $$

Il va sans dire, $x$ et $y$ne sont pas des variables aléatoires indépendantes. Ils sont en fait tellement dépendants les uns des autres que$x=y$ presque sûrement, ce qui signifie que l'ensemble $$ \{(x,y)\in [0,1]\times [0,1]: x=y \} $$ a une pleine mesure (selon $η$),