Unitarité et amplitudes
Dans Bootstrap and Amplitudes: A Hike in the Landscape of Quantum Field Theory, il y a peu de déclarations sur la structure analytique des amplitudes.
Je veux comprendre la déclaration:
Dans une théorie locale des scalaires sans masse, ils peuvent avoir des pôles simples et le résidu d'un tel pôle est, par unitarité , un produit d'amplitudes de points inférieurs.
Je comprends cette propriété des règles de Feynman pour l'amplitude au niveau de l'arbre, mais je n'ai pas eu le rôle d' unitarité .
Je veux comprendre, comment l'unitarité est liée à une telle propriété? Comment les résidus changeront-ils si nous perdons l'unitarité?
Réponses
Unitarité ($SS^\dagger = 1$) dicte que \ begin {équation} \ label {clé} TT ^ \ dagger = iTT ^ \ dagger \ end {equation} Pour le niveau de l'arborescence$2\rightarrow 2$ dispersion, nous avons alors que $$ \langle p_1,p_2|T|p_3,p_4\rangle - \langle p_1,p_2|T|p_3,p_4\rangle^* = i\langle p_1,p_2|TT^\dagger|p_3,p_4\rangle. $$ En utilisant $\langle p_1,p_2|T|p_3,p_4\rangle = (2\pi)^4\delta^{(4)}(p_1 + p_2 - p_3 - p_4)\mathcal{A}[12\rightarrow 34]$, et en insérant un ensemble complet d' états d' une particule (pour rester au niveau de l'arborescence), nous pouvons l'écrire comme\begin{align} 2\text{Im}(\mathcal{A}[12\rightarrow 34]) &= 2\pi\sum_k\int \frac{d^3k}{2E_k}\delta^{(4)}(p_1+p_2 - k)\mathcal{A}[12\rightarrow k]\mathcal{A}^*[k\rightarrow 34]\\ &= 2\pi\sum_k\int d^4k\delta(k^2)\delta^{(4)}(p_1+p_2 - k)\mathcal{A}[12\rightarrow k]\mathcal{A}^*[k\rightarrow 34] \end{align} Maintenant, le côté gauche est la partie imaginaire de l'amplitude 4pt, que nous prendrons pour avoir des numérateurs $n_i$ et propagateurs $p_i^2 + i\epsilon$, où $i$ nomme les façons dont nous pouvons organiser un échange de particules (le $s,t,u$canaux). Ainsi, nous avons \ begin {équation} 2 \ text {Im} \ left (\ sum_k \ frac {n_k} {k ^ 2 + i \ epsilon} + \ text {contact} \ right) = 2 \ pi \ sum_k \ int d ^ 4k \ delta (k ^ 2) \ delta ^ {(4)} (p_1 + p_2 - k) \ mathcal {A} [12 \ rightarrow k] \ mathcal {A} ^ * [k \ rightarrow 34] , \ end {équation} Dans une théorie locale des scalaires sans masse, nous pouvons écrire la partie imaginaire du propagateur comme$$ \text{Im}\left(\frac{1}{p^2 + i\epsilon}\right) = \frac{1}{2i}\left(\frac{1}{p^2 + i\epsilon} - \frac{1}{p^2 - i\epsilon}\right) = \frac{-\epsilon}{p^4 + \epsilon^2}. $$ Cela semble disparaître pour $\epsilon \rightarrow 0$, ce qui, par le théorème optique, signifie que votre amplitude doit être nulle pour des impulsions externes réelles. Cependant, cela est trompeur et n'est vrai que lorsque le propagateur est hors shell. Reconnaissant le fait que le dernier terme ci-dessus est la fonction delta dirac naissante, nous apprenons que$$ \lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{-\epsilon}{p^4 + \epsilon^2} = \pi\delta(p^2). $$
En branchant cela, nous constatons que, lorsque le propagateur passe sur le shell, nous avons \ begin {équation} 2 \ pi \ sum_kn_k \ delta (k ^ 2) = 2 \ pi \ sum_k \ int d ^ 4k \ delta (k ^ 2) \ delta ^ {(4)} (p_1 + p_2 - k) \ mathcal {A} [12 \ rightarrow k] \ mathcal {A} ^ * [k \ rightarrow 34]. \ end {équation} Ou, en d'autres termes, les numérateurs des amplitudes au niveau de l'arbre se factorisent en deux amplitudes de point inférieur (les résidus) lorsque le propagateur passe sur la coquille \ begin {équation} n_k = \ int d ^ 4k \ delta ^ {(4)} (p_1 + p_2 - k) \ mathcal {A} [12 \ rightarrow k] \ mathcal {A} ^ * [k \ rightarrow 34] \ end {equation} Nous notons maintenant un problème majeur: le côté droit est en fait nul en raison de la conservation de l'élan, et c'est probablement la raison pour laquelle la plupart des livres ne discutent pas du théorème optique au niveau de l'arbre. Cela est dû au fait que les amplitudes à trois particules invariantes de Lorentz disparaissent sur la coquille du fait que$p_i\cdot p_j = 0$ pour tous $i,j$en raison de la conservation de l'élan. Cependant, ce n'est pas vrai si nous utilisons des variables d'hélicité de spin et supposons une impulsion complexe , ce qui est exactement ce que fait le programme d'amorçage d'amplitudes.