Utilisation de facteurs d'intégration pour résoudre des équations différentielles difficiles

Question

Considérez l'équation différentielle:

$$(2x^2 y -2y^4)dx+ ( 2x^3 + 3xy^3) dy = 0$$

Cette équation est de la forme:

$$ Q dx + P dy=0$$

Maintenant, il est facile de voir que ce différentiel n'est pas exact en utilisant la commutativité de la condition partielle du second ordre. Multipliez-le par un facteur d'intégration$\eta(x,y)$ tel qu'il fait:

$$ \eta_x P + P_x \eta = \eta_y Q + Q_y \eta$$

Ou,

$$ \eta_x P - \eta_y Q + ( P_x - Q_y) \eta = 0$$

Cela devient: (*)

$$ \eta_x ( 2x^3 + 3xy^3) - \eta_y ( 2x^2 y - 2y^4) + ( 6x^2 +3 y^3 - 2x^2 -8y^3) \eta =0$$

Ou,

$$ \eta_x ( 2x^3 + 3xy^3) - \eta_y ( 2x^2 y - 2y^4) + ( 4x^2 - 11y^3) \eta =0$$

Maintenant ... je ne sais pas trop quoi faire ... je ne pense pas pouvoir écrire $ \eta$ en fonction uniquement de $x$ ou $y$.. ai-je manqué quelque chose ou ...?

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Comme correctement observé par @Aleksas Domarkas. Il y a une erreur après l'endroit où j'ai mis *. Le fonctionnement actuel est le suivant:

$$ \eta_x ( 2x^3 + 3xy^3) - \eta_y ( 2x^2 y - 2y^4) + ( 6x^2 +3 y^3 - 2x^2 +8y^3) \eta =0$$

Ou,

$$ \eta_x ( 2x^3 + 3xy^3) - \eta_y ( 2x^2 y - 2y^4) + ( 4x^2 + 11y^3) \eta =0$$

Answer 1

J'obtiens ("+" au dernier trimestre). $$\eta_x ( 2x^3 + 3xy^3) - \eta_y ( 2x^2 y - 2y^4) + ( 4x^2 + 11y^3) \eta =0$$ Laisser $\eta=x^ay^b$. ensuite$$\left( -2 b-3 a-11\right) \, {{x}^{a}}\, {{y}^{b+3}}+\left( 2 b-2 a-4\right) \, {{x}^{a+2}}\, {{y}^{b}}=0$$ Système de résolution $-2 b-3 a-11=0,\quad 2 b-2 a-4=0$.

ensuite $a=-3,\quad b=-1$. Le facteur d'intégration est$$\eta=\frac{1}{x^3y}$$ Nous obtenons la solution générale de l'équation différentielle $$2\ln(xy)+\frac{x^3}{y^2}=C$$

Answer 2

$(2x^2y-2y^4)~dx+(2x^3+3xy^3)~dy=0$

$(2x^3+3xy^3)~dy=(2y^4-2x^2y)~dx$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y^4-2x^2y}{2x^3+3xy^3}$

Laisser $r=x^2$ ,

ensuite $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{dr}\dfrac{dr}{dx}=2x\dfrac{dy}{dr}$

$\therefore2x\dfrac{dy}{dr}=\dfrac{2y^4-2x^2y}{2x^3+3xy^3}$

$\dfrac{dy}{dr}=\dfrac{y^4-x^2y}{x^4+3x^2y^3}$

$\dfrac{dy}{dr}=\dfrac{y^4-ry}{r^2+3ry^3}$

Laisser $s=y^3$ ,

ensuite $\dfrac{ds}{dr}=3y^2\dfrac{dy}{dr}$

$\therefore\dfrac{1}{3y^2}\dfrac{ds}{dr}=\dfrac{y^4-ry}{r^2+3ry^3}$

$\dfrac{ds}{dr}=\dfrac{3y^6-3ry^3}{r^2+3ry^3}$

$\dfrac{ds}{dr}=\dfrac{3s^2-3rs}{r^2+3rs}$