valeur attendue de l'échantillon

Question

Supposons que nous ayons une distribution qui a du pdf, disons, $f(x)= 4(3-x^3)$ pour $0<x<2$, et $0$autre part. Je suis capable de trouver$E(X)$ et $Var(X)$ en utilisant la définition standard de la valeur attendue (c'est-à-dire l'intégrale de $xf(x)$) et la variance. Mais supposons que l'on nous donne qu'un échantillon aléatoire d'une certaine taille, disons$15$, a été obtenue à partir de cette distribution, et donc cet échantillon lui-même aura une moyenne, et le problème est de trouver la valeur attendue de la moyenne de l'échantillon. J'ai d'abord pensé que la valeur attendue et la variance de la moyenne de l'échantillon seraient simplement$E(X)$ et $Var(X)$ respectivement, mais je ne sais pas si la moyenne et la variance de l'échantillon seront influencées par la taille de l'échantillon.

Ma question est de savoir si la valeur attendue de la moyenne de l'échantillon est la même que $E(X)$ quelle que soit la taille de l'échantillon, et sinon quelle est l'approche pour déterminer la valeur attendue de la moyenne de l'échantillon en tenant compte de la taille de l'échantillon.

Je vous remercie.

Answer 1

Faites l'hypothèse que $X_1,\dots,X_n\overset{iid}{\sim} \text{Distribution}$ avoir un moyen $\mu$ et une variance $\sigma^2$. le$\text{Distribution}$ n'a pas besoin d'être normal (bien que cela puisse être).

J'ai donné les dérivations complètes. Ma suggestion est de faire défiler une ligne à la fois et d'essayer d'anticiper ma prochaine ligne afin que vous puissiez le prouver vous-même.

SIGNIFIER

$$\mathbb{E}\big[\bar{X}\big] =\mathbb{E}\Bigg[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\mathbb{E}\Bigg[\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}\big[ X_i\big]$$

$$= \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu$$

$$=\dfrac{1}{n} n\mu$$

$$=\mu$$

VARIANCE

$$Var\big(\bar{X}\big) = Var\Bigg(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg)$$

$$=\dfrac{1}{n^2}Var\Bigg(\sum_{i=1}^n X_i\Bigg) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var\big(X_i\big) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{1}{n^2}n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{\sigma^2}{n} $$

REMARQUE : ce n'est PAS une preuve du théorème de la limite centrale.