Valeurs propres de $A^{2018}$

Question

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $A^{2018}$. $$ A=\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

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Ma solution:

Premièrement, en soustrayant la première ligne fois trois de la deuxième ligne, nous obtenons: $$ A\approx \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix} $$

Nous avons obtenu la matrice triangulaire supérieure de sorte que le polynôme caractéristique est: $$ \chi_{A^{2018}}(\lambda)=det (\begin{bmatrix} 1 & 3 & 4\\ 0 & -8 & -8\\ 0 & 0 & 4\end{bmatrix}^{2018}-\lambda I)=(1^{2018}-\lambda)((-8)^{2018}-\lambda)(4^{2018}-\lambda) $$

Par conséquent, l'ensemble des valeurs égales est $\{1,4^{2018},8^{2018},\}$.

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Veuillez vérifier si c'est la bonne solution, et au cas où ce ne serait pas le cas, aidez-moi à trouver la bonne.

Answer 1

Votre matirx est la somme d'une matrice relativement facile (symétrique) et d'une matrice nilpotente, et celles-ci font la navette. $N$ est égal à zéro sauf pour la paire de $4$ dans les positions $(1,3)$ et $(2,3).$ Appelez le symétrique $S$qui peut être joliment diagonalisée. parce qu'ils font la navette,$$ (S + N)^{2018} = S^{2018} + 2018 S^{2017} N. $$ Ça s'arrête là depuis $N^2 = 0.$

Je viens de deviner cela, tout ce qui est nécessaire est explicite $P^{-1} S P = D.$ Il n'est pas vraiment nécessaire que $P$être orthogonal. En fait, ce que je fais c'est

$$ P^T S P = D $$ $$\left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rrr} 4 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) $$

où $PP^T = P^TP = I$

$ P^T S P = D $ de sorte que $S = PDP^T.$ Ainsi $S^{n} = P D^n P^T$ pour tous $n \geq 1$

les $S+N$est appelée une décomposition de Jordan Chevalley, parfois beaucoup plus facile que la forme canonique de Jordan. Cette fois, pas très différent

Answer 2

Indice: le polynôme caractéristique est $c_A(x)=(x-4)((x-1)^2-9)=(x-4)^2(x+2)$.

Vous pouvez vérifier que la forme normale de Jordan est $B=\begin{pmatrix} 4&1&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$.

Puis $A^n$ est similaire à $B^n$.

Mais $B^n=\begin{pmatrix}4^n&4+2\cdot4^n&0\\0&4^n&0\\0&0&(-2)^n\end{pmatrix}$.

Par conséquent, nous obtenons $\{4^n,(-2)^n\}$ comme valeurs propres.