Vérification de la preuve: le chemin connecté implique connecté

Question

Laisser $(M,d)$être un espace métrique, qui est connecté au chemin. Réparer $p \in M$. Maintenant,$\forall q \in M-\{p\}$, $\exists f_q:[a,b] \rightarrow M$ avec $f_q(a)=p$ et $f_q(b)=q$, et $f_q$est continue. Appelez chacun de ces$[a,b]$un intervalle de domaine , qui n'est pas unique.

Laisser $\{I_q| q \in M-\{p\}\}$être une collection de tels intervalles de domaine (notez qu'une telle collection n'est pas unique). Maintenant, en utilisant le fait que$I_q$ est connecté pour chaque $q \in M-\{p\}$, et le fait que les fonctions $f_q$ sont continus, $f_q(I_q)$doit également être connecté. De plus, l' intersection de$f_q(I_q)$ plus de $q \in M-\{p\}$ n'est pas vide, car $p$doit appartenir à cette intersection. Par conséquent, leur union doit être connectée. Maintenant,$\forall q \in M-\{p\}$, $f_q(I_q) \subset M$ par définition de $f_q$. Également,$\forall q \in M-\{p\}$, $q \in f_q(I_q)$, encore une fois par définition. Bien sûr,$p \in f_q(I_q )$ $\forall q \in M-\{p\}$ainsi que. Donc,$\bigcup\limits_{q \in M-\{p\}} f_q(I_q) = M$ et $M$ est connecté $\blacksquare$

Answer 1

$X$ est connecté ssi pour chaque $x,y \in X$ il existe un sous-espace connecté $C(x,y)\subseteq X$ tel que $x,y \in C(x,y)$.

De gauche à droite, c'est trivial, on peut prendre $C(x,y)=X$toujours. De droite à gauche: supposons$X$ n'est pas connecté tant que le côté droit tient, écrivez $X=A \cup B$ où $A,B$sont disjoints, non vides et tous deux ouverts. Choisir$a \in A, b \in B$ et pour le $C(a,b)$ qui existe, notez que $C(a,b) = (A \cap C(a,b)) \cup (B \cap C(a,b))$, de sorte que $C(a,b)$n'est pas connecté, ce qui est une contradiction. Donc$X$ est connecté.

(J'aurais pu aussi montrer, comme dans votre proposition de preuve que (pour certains $p \in X$), cette $$X= \bigcup\{ C(p,a): a \in X\}$$ qui est une union de sous-espaces connectés qui se croisent tous à $p$ et est donc connecté, mais cela nécessite un théorème supplémentaire, tandis que le précédent n'a besoin que de la définition de la connectivité)

Maintenant, notez que le côté droit est facilement satisfait pour un espace connecté au chemin: si $f:[a,b] \to X$ est un chemin de $x$ à $y$, utilisation $C(x,y)=f[[a,b]]$, qui est connecté comme $f$ est continue et $[a,b]$ est toujours connecté.

Answer 2

Correct.

Une autre façon de le prouver est de prouver les fausses implications inverses. Donc non connecté implique pas de chemin connecté. Facile si vous supposez que$M$est le chemin connecté. Vous montrez que, depuis$M$n'est pas connecté il y a des points appartenant à différents composants connectés qui ne sont pas "atteignables" par chemin continu (comme vous l'avez dit, l'image serait connectée) et c'est donc un absurde .

Answer 3

Supposer que $M$n'est pas connecté.

Puis ensembles disjoints ouverts non vides $A,B$ exister avec $A\cup B=M$.

Pour chaque continu $f:[a,b]\to M$ l'image $f([a,b])$ est connecté, donc doit être un sous-ensemble de $A$ ou un sous-ensemble de $B$.

Donc si $p\in A$ et $q\in B$ un chemin reliant $p$ et $q$ N'existe pas.

Nous concluons que $M$n'est pas connecté au chemin.