Violation de la loi en chiffres

Question

L'agent spécial Benford a été bloqué par un troisième cas non résolu de comptabilité créative malveillante et se retirera volontairement du groupe de travail sur les nombres frauduleux. La capacité de Benford à détecter les registres falsifiés en comptant simplement les premiers chiffres des entrées numériques est si réputée qu'une loi porte le nom de notre héros déprimé.

Loi de Benford : Sur une feuille comptable honnête, le premier chiffre de presque 1⁄3 de toutes les entrées numériques devrait être «1», beaucoup plus souvent que «2» ou tout autre chiffre. Le nombre de chaque chiffre étant un premier chiffre correspond à un schéma décroissant où «9» est le premier chiffre du moins de nombres.

Cette méthodologie a bien servi Benford pendant des décennies de service, car des comptables peu scrupuleux jonglaient principalement avec des nombres décimaux . Au fil des ans, cependant, deux cas sont restés intacts parce qu'ils impliquaient d'autres systèmes de numérotation. Tous les nombres entiers positifs sont suspects.

1. Cas non résolu un. Reconnaissant le plus ancien système de numérotation connu, Benford savait que ses premiers chiffres n'entraîneraient pas de condamnation.

2. Cas non résolu deux. Benford a reconnu que ce système de numérotation était utilisé par pratiquement tous les ordinateurs modernes et a dû admettre à nouveau que ses premiers chiffres étaient exempts d'indices.

Enfin, hélas, vint le dernier cas.

1. Troisième cas non résolu. Benford n'avait jamais rencontré ce système de numérotation auparavant, mais en voyant les entrées, il s'est rendu compte qu'eux aussi défieraient «la loi». Avant d'abandonner, Benford a appris que le même système de numérotation déviant avait été vu dans les cercles savants pendant des siècles, bien que rarement, et qu'il était en fait la base de certains ordinateurs numériques intelligemment efficaces.

Quels sont les systèmes de numérotation des cas un, deux et trois et pourquoi sont-ils si anarchiques?

Défi de prime: Dans lequel de ces cas le remplaçant de Benford, successeur de l'agent spécial, peut-il avoir plus de succès en comptant les deuxièmes chiffres des entrées? Quelles seraient leurs fréquences numériques attendues?

_{(Aucun jeu de mots grossier n'est en cours.)}

Answer 1

Je pense que la réponse est la suivante.

Cas un:

Unaire , également connu sous le nom d'arithmétique de pointage. Chaque numéro est donné par un certain nombre de symboles (généralement des barres obliques verticales similaires au chiffre un), par conséquent le premier «chiffre» est toujours le même. C'est, bien entendu, la plus ancienne méthode de comptage.

Cas deux:

Binaire . Encore une fois, le premier chiffre de chaque nombre est 1, donc la loi de Benford ne peut pas être utile. Le binaire est la base de la plupart des architectures informatiques modernes.

Cas trois:

Ternaire équilibré . Dans le ternaire équilibré, les chiffres sont 1, 0 et -1, et le premier chiffre de chaque nombre positif est toujours 1. Il y a plusieurs raisons théoriques pour lesquelles le ternaire équilibré rend certaines opérations mathématiques plus efficaces, et a apparemment été utilisé comme base pour certains Les ordinateurs soviétiques dans le passé.

Prime:

L'examen du deuxième chiffre fournira un biais statistique dans les cas ternaires binaires et équilibrés, mais pas dans le cas unaire. Pour le cas binaire, en utilisant une généralisation simple de la distribution fournie sur Wikipedia , la probabilité que le deuxième chiffre soit 0 est$\log_2(3) -\log_2(2)$, soit environ 58,5%.

Pour un ternaire équilibré, la distribution du deuxième chiffre semble être similaire à celle du ternaire, mais est subtilement différente. Pour ce faire, nous allons relier la distribution ternaire équilibrée à la distribution ternaire régulière. Dans la distribution ternaire régulière, la probabilité qu'un nombre commence par$n$ (sous forme de chaîne de chiffres) est $\log_3(n+1) - \log_3(n)$.

Pour faciliter la présentation, nous pouvons ignorer les nombres avec moins de 3 chiffres ternaires équilibrés, car il y aura un nombre fini d'exceptions aux règles que nous posons ci-dessous qui disparaissent lorsque nous regardons à travers l'infini des nombres entiers. Aussi, nous utiliserons les symboles$+$, $\cdot$ et $-$ pour nos chiffres ternaires équilibrés.

Regardons d'abord le cas où le deuxième chiffre est $-$. En se convertissant en ternaire, nous avons$[+ - - , + - +] \equiv [12,21]$, $[+ - - -, + - + +] \equiv [112,211]$, $[+ - - - -, + - + + +] \equiv [1112,2111]$, etc. Ainsi, le deuxième chiffre d'un nombre ternaire équilibré est$-$ si et seulement si le nombre ternaire correspondant commence par $12$, $112$, $1112$, $\ldots$; $20$; ou$21$, à l'exception de ceux commençant par $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$. Pour obtenir la probabilité que cela se produise, nous additionnons toutes les probabilités associées de la distribution de Benford sur les plages ternaires normales. En utilisant le Magma Calculator , nous obtenons la probabilité approximative de 46,5%.

Considérons maintenant le cas où le deuxième chiffre est $\cdot$. Comme ci-dessus, pour les nombres ternaires équilibrés remplissant cette condition, les nombres ternaires équivalents satisfont$[ + \cdot - , + \cdot + ] \equiv [22 , 101]$ , $[ + \cdot - -, + \cdot + +] \equiv [212 , 1011]$, $[ + \cdot - - -, + \cdot + + +] \equiv [2112 , 10111]$, etc. Comme auparavant, un nombre ternaire équilibré a un deuxième chiffre $\cdot$ lorsque le nombre ternaire correspondant commence par $212$, $2112$, $21112$, $\ldots$; $22$; ou$10$, à l'exception de ceux qui commencent par $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$. Cela donne une probabilité d'environ 30,63%.

Pour le deuxième chiffre $+$, nous pourrions simplement ajouter les résultats précédents et soustraire de 1, mais pour vérifier, calculons-le de la même manière. Comme ci-dessus, nous avons$[ + + - , + + + ] \equiv [102 , 111]$ , $[ + + - -, + + + +] \equiv [1012 , 1111]$, $[ + + - - -, + + + + +] \equiv [10112 , 11111]$. Ainsi, le deuxième chiffre ternaire équilibré est$+$ lorsque le nombre ternaire correspondant commence par $102$, $1012$, $10112$, $\ldots$; ou$11$, sauf ceux commençant par $112$, $1112$, $11112$, $\ldots$. Comme ci-dessus, cette probabilité s'élève à 22,87%.

A titre de comparaison, les probabilités pour les seconds chiffres dans le ternaire normal sont de 40,22%, 32,47% et 27,32% pour $0$, $1$ et $2$, respectivement.