$X$ est connecté localement et compacte

Question

Laisser $(X,\tau)$ être un espace topologique $T_3$. Montrez que les affirmations suivantes sont équivalentes:

1. Chaque couverture ouverte et finie de X a un raffinement fini constitué d'ensembles connectés.

1. Space X est connecté localement et compacte.

Un espace topologique est appelé dénombrable compact si chaque couverture ouverte et dénombrable admet un sous-couverture fini.

Des idées:

$1 \to 2$ Pour le prouver $X$ est localement connecté j'ai pensé à ce qui suit, par hypothèse $A=\{X\}$ a un raffinement fini composé d'ensembles connectés, disons $B=\{B_i:B_i \text{ is connected and } i \in \{1,...,n\}\}$. Laisser$x \in X$ et $U$ ouvert de $X$, tel que $x \in U \subset X$, depuis $X=\cup B_i$, $x \in B_k$ où $k \in \{1,...,n\}$, si $B_k \subset U$ et $B_k$ est ouvert, $X$ est connecté localement dans $x$, Si ce qui précède ne se produit pas, je ne sais pas comment procéder.

prouver qu'il est compacte ne me vient pas à l'esprit.

$2 \to 1$ laisser $U=\{U_i:i \in \{1,2,...,n\}\}$ être une couverture finie de $X$. Depuis$X$ est connecté localement, pour chaque $x \in U_i$ il y a un ouvert connecté $V_{ix}$ tel que $V_{ix} \subset U_i$. Donc,$U_i=\cup _{x \in U_i} V_{ix}$. Mon idée ici était d'utiliser l'hypothèse que$X$ est comptablement compact et l'appliquer à chaque $U_i$, mais je ne suis pas sûr de ce fait, car je ne sais pas s'il y a une quantité dénombrable de $V_{ix}$ qui couvre $U_i$.

Je ne sais pas comment utiliser l'hypothèse que $X$ est $T_3$.

toute aide serait très utile. Je vous remercie

Answer 1

Votre question porte sur l'équivalence des conditions (a) et (c) du théorème 3.1 de [HI].

Références

[HI] Henriksen, M., Isbell, JR Connectivité locale dans la compactification Stone-Čech , Illinois J. Math. 1 : 4 (1957), 574-582.