19 palline e una scala
Ti vengono date 19 palline dall'aspetto identico e una scala bilaterale. Una delle palline è diversa, più leggera o più pesante delle altre. Usando 4 pesate della bilancia, come puoi determinare quale palla è dispari e se è più leggera o più pesante? (In modo sistematico)
Risposte
Ecco una strategia ovvia
Scegli dodici palline qualsiasi, dividile in due gruppi di sei e confronta i due gruppi usando le scale. Se la bilancia si inclina in un modo (non è bilanciata), allora sappiamo che questo gruppo di 12 contiene la palla dispari e possiamo usare una qualsiasi delle strategie dettagliate nelle risposte a questa domanda per dedurre la palla dispari e il suo peso relativo in altre tre pesate.
Altrimenti, se la scala è bilanciata, allora sappiamo che la pallina dispari è una delle rimanenti 7. In questo caso, possiamo semplicemente aggiungere 5 palline del primo gruppo per ottenere 12 e poi ripetere una delle strategie dettagliate nelle risposte a questo domanda .
Nota
Questa rapida generalizzazione ci offre una strategia per dedurre la palla dispari fino a una dimensione impostata di 24.
Una soluzione molto piacevole per le 12 palline, la domanda sulle 3 pesate è stata citata da Gareth McCaughan qui che ho appena copiato nel testo dello spoiler qui sotto per una rapida consultazione
Alcune delle risposte esistenti a questa antica domanda sono eccellenti, ma c'è una risposta famosa che penso meriti di essere menzionata qui. Viene da un articolo su Eureka , la rivista annuale della società matematica studentesca dell'Università di Cambridge, scritto da CAB Smith con lo pseudonimo di "Blanche Descartes".
Ha due caratteristiche molto belle. La prima è che si tratta di una soluzione "non ramificata": non è necessario modificare ciò che si fa nelle pesate successive a seconda dei risultati di quelle precedenti. Il secondo è che una volta visto è quasi impossibile dimenticarlo.
La soluzione di Smith è scritta interamente in versi e include una spiegazione di come funziona il tutto, ma citerò solo la risposta effettiva. "F" ecco il nostro protagonista, il professor Felix Fiddlesticks, la cui madre gli ha chiesto aiuto per il puzzle. Ho apportato alcune modifiche insignificanti alla formattazione originale.
F ha disposto le monete in fila
E ha scritto su ciascuna una lettera, così,
per formare le parole:F AM NOT LICKED
(Un'idea nel suo cervello era scattata.)
E ora sua madre ingiungerà:
"MA, MI PIACE
/ TROVA
FALSO / MONETA! "
Ciascuna delle tre righe dell'ingiunzione di F descrive una pesata. Quando li hai fatti tutti, i risultati determinano in modo univoco quale moneta è falsa e in che modo.
Ulteriore riferimento
Penso che per 4 pesate possiamo effettivamente trovare la palla dispari in un insieme di dimensioni $\frac{3^4 - 3}{2} = 39$.
Viene qui fornita una buona discussione del problema generale