2 urne, palline blu e arancioni
L'urna 1 ha 1 pallina arancione e 6 palline blu. L'urna 2 ha 2 palline arancioni e 5 palline blu. Supponi di pescare 3 palline da un'urna. Per decidere quale urna utilizzare si tira un dado a 6 facce equo. Disegna dall'urna 1 se ottieni un numero pari, urna 2 se ottieni un numero dispari. Qual è la probabilità di pescare esattamente una pallina arancione?
Mi risulta che tu abbia un file $0.5$ possibilità di pescare dall'urna 1 e $0.5$ possibilità di disegnare dall'urna 2. Inizialmente ho disegnato un diagramma ad albero per questa domanda che mi ha portato alla risposta di $P(exactly\ 1\ orange) = 0.5(3/7 + 4/7)$. Il mio problema è l'altra soluzione che coinvolge le combinazioni.
$$P(1\ orange | Urn_1) = \frac{6 \choose 2}{7 \choose 3} = 15 / 35 = \frac{3}{7}$$ e $$P(1\ orange | Urn_2) = 2 \left(\frac{5 \choose 2}{7 \choose 3} \right) = 20/35 = 4/7$$
La mia mente semplicemente non riesce a capire perché quanto sopra funziona. Ho un diagramma ad albero davanti a me in cui calcolo manualmente ciascuna delle opzioni ma non riesco a metterle in relazione tra loro.
So che alla fine lo faresti e basta $$P(1\ orange) = 0.5 \left(P(1\ orange | Urn_1) + P(1\ orange | Urn_2) \right) = 0.5$$
Risposte
Penso che il modo in cui hai scritto i due casi rende più difficile vedere la regola. Se stai disegnando tre palline e vuoi esattamente$1$di loro per essere arancione, poi gli altri due devono essere blu. Quando si estrae da un'urna con$N_o$ palline arancioni e $N_b$ palline blu, quindi, puoi scegliere la singola pallina arancione in $N_o$ modi e le palle blu dentro ${N_b}\choose{2}$modi; per ottenere la probabilità, il prodotto di questi dovrebbe essere diviso per il numero totale di modi da scegliere$3$ palle, che è ${N_o+N_b}\choose{3}$: $$ P=\frac{N_o\cdot{{N_b}\choose{2}}}{{N_o+N_b}\choose{3}}. $$ Più in generale, se volessi trovare esattamente la probabilità di disegnare $n_o$ palline arancioni e $n_b$ palline blu durante il disegno $n_o+n_b$ senza sostituzione, sarebbe $$ P=\frac{{{N_o}\choose{n_o}}{{N_b}\choose{n_b}}}{{N_o+N_b}\choose{n_o+n_b}}. $$