$A$ è nilpotente, quindi $I+\lambda A$ è invertibile per qualsiasi $\lambda \in \mathbb{R}$

Question

Ho bisogno di aiuto in questo problema
Let$A$ è una matrice reale quadrata tale che $A^{n}=0$ per un numero intero positivo $n .$Tale matrice è chiamata nilpotente. Dimostralo se$A$ è nilpotente, quindi $I+\lambda A$ è invertibile per qualsiasi $\lambda \in \mathbb{R}$

Lo so per $\lambda = 1$ è vero da
$$\left(A+I\right)\left(I-A+A^2-...+(-1)^n A^{n-1}\right) = I +(-1)^{n-1} A^n = I$$ Dimostrandolo così $A+I$ è invertibile per qualsiasi nilpotente $A$.

Ma non so se questo sia vero per nessuno $\lambda$.

Answer 1

abbiamo $(I+\lambda A)(I-\lambda A+\lambda^2A^2-...)=I$.

Answer 2

Suggerimento: poiché sai già se $A$ è nilpotente, quindi $I+A$ è un'unità, puoi osservarlo $\lambda A$ è nilpotente e conclude.

Answer 3

Puoi anche mostrarlo per contraddizione come segue:

Per $\lambda = 0$ non c'è niente da mostrare.

Quindi, andiamo $\lambda \neq 0$ e presumilo $I+\lambda A$ non è invertibile. $$\Rightarrow \det (I+\lambda A)=0 \Rightarrow \det \left(A - \mu I\right)=0 \text{ with } \mu = -\frac 1{\lambda} \neq 0$$

Così, $\mu\neq 0$ sarebbe un autovalore di $A$. Da$A$ è nilpotente, avremmo $\mu = 0$, che è una contraddizione.

Answer 4

presumo $A$ è finita $\mathbb{R}$ , con indice nilpotente $k$

nel caso $\lambda = 0$ : $(I - \lambda A) = I$ed è invertibile.
nel caso$\lambda \not= 0$: useremo questo prossimo lemma

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lemma: se$B$ è una vera matrice priva di potere, $B$non ha autovalori reali diversi da zero.
prova:

supponiamo $B$ è nilpotente di indice $r$.
inoltre assumiamo che abbia un autovalore reale -$\xi$

per definizione, significa che esiste un vettore diverso da zero $v$ tale che-

$Bv = \xi v$

così, $B^2v = B(B(v)) = B(\xi v) = \xi B(v) = \xi^2 v$
in generale, non è difficile dimostrarlo per induzione
$\forall n \in \mathbb{N} : B^n (v) = \xi ^n v$

con questo, otteniamo: $B ^r (v) = \xi ^r v$
ma anche $B ^r (v) = O (v) = \underline0$

così - $\xi ^r v = \underline0$.
ma$v \not= \underline0$ , quindi dobbiamo ottenere $\xi ^r = 0$ - che in generale significa che:
$\xi = 0$
$Q.E.D$

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Ora, applicare questo lemma su$A$e prendilo $A$non ha autovalori diversi da zero .

esaminiamo la matrice $I - \lambda A$ , ricordandolo qui $\lambda \not= 0$.

Questa matrice è invertibile, se e solo se ha una determinante diversa da zero.
Calcoliamo il suo determinante:

$det(I - \lambda A) = \lambda det(\lambda ^{-1}I - A)$

presumo che questo sia uguale $0$ e prendi:
$\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$
$det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$

e così - $\lambda ^{-1}$ è un autovalore di $A$, che è diverso da zero. Contredizione.

perciò, $\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) \not= 0$ e così -
$det(I - \lambda A) \not = 0$ e la matrice è invertibile.