AB - BA = Z commutatore

Question

Determina tutti i numeri reali $x$ per cui esistono $3\times3$ matrici reali $A$ e $B$ tale che \begin{align*} AB -BA = \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{pmatrix} \end{align*} Soluzione:

Idea: una matrice quadrata $Z$ si chiama "commutatore" quando $Z=XY-YX$ per alcune matrici $X$ e $Y$. Quindi la traccia ($Z$) $= \sum z_{ii}=0$ perché la traccia ($XY$)$=$traccia$(YX)$ per tutte le matrici $X$ e $Y$ entrambi il cui prodotto $XY$ e $YX$sono quadrati. In questo problema la matrice$\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\\end{pmatrix}$comportarsi come un commutatore. Quindi prendi la traccia per entrambi i lati.\begin{align*} \text{tr}(AB -BA) &= \text{tr}\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& x& 0\\ 0& 0& -1\\ \end{pmatrix}\\ \text{tr}(AB) - \text{tr}(BA) &= x\\ \end{align*} Sappiamo che esistono delle matrici $A$ e $B$ tale che tr ($AB$) $=$ tr ($BA$). Quindi possiamo dire che se$x=0$ poi tr$(AB) =$ tr$(BA)$, la dichiarazione di cui sopra vale. Se$x\neq 0$ poi tr$(AB)$$\ neq $ tr $ (BA) $ , la dichiarazione precedente non vale

Se $ x = 0 $ esistono $ 3 \ times3 $ matrici reali $ A $ e $ B $ tali che tr $ (AB) = $ tr $ (BA) $
Se $ x \ neq0 $ non esiste $ 3 \ times3 $ matrici reali $ A $ e $ B $ tali che tr $ (AB) = $ tr $ (BA) $

Questa è la mia risposta a questo problema. Ma il mio professore ha detto che non ho dimostrato che ci sono matrici $ A, B $ che soddisfano l'equazione nel problema. Come proviamo l'esistenza di queste matrici?

Answer 1

Puoi esibire due matrici $A$ e $B$ che soddisfano l'equazione data quando $x=0$. Puoi provare a risolvere il problema più piccolo$$ XY-YX=Z:=\pmatrix{1&0\\ 0&-1}\tag{1} $$primo. Quindi ingrandisci$X$ e $Y$ a due $3\times3$ matrici $A$ e $B$ inserendo una riga zero e una colonna zero al centro di ciascuna di $X$ e $Y$.

Risolvere $(1)$, puoi scegliere un file $X$ a caso (per questo particolare $Z$ nel $(1)$, non scegliere una matrice diagonale; sai perché?) e risolvi$Y$. Da$Y$ha quattro voci, hai un sistema di quattro equazioni lineari in quattro incognite. Di solito è risolvibile a meno che non si scelga$X$è molto male. Un'ottima scelta per il nostro problema attuale$(1)$ è $X=\pmatrix{0&1\\ 1&0}$.

Se vuoi saperne di più sull'equazione $XY-YX=Z$, vedi il documento di Kahan Only Commutators Have Trace Zero .