Algebra esterna e vettori linearmente indipendenti
Supporre che $v_1,\cdots,v_r$ sono vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale $V$. Voglio provare a dimostrarlo per chiunque$w \in \bigwedge^p(V)$ quello $$ w = \sum_{i=1}^{r} v_i \wedge \psi_i $$ per alcuni $\psi_i \in \bigwedge^{p-1}(V)$ se e solo se $$ v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0. $$
La direzione in avanti è banale scrivendo $w$come somma ed estendendo linearmente il prodotto del cuneo. È la seconda implicazione che mi dà dei problemi.
Se lo assumiamo $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w = 0$, quindi voglio concludere che posso scrivere $w$ nella forma appropriata esaminando forme alternate e multi-lineari ben scelte da $V^{p+r}$ in uno spazio vettoriale in modo da poter utilizzare la proprietà universale di $\bigwedge^{p+r}(V)$e valuta la mappa indotta in $v_1\wedge v_2\wedge \cdots \wedge v_r\wedge w$ e prendi $0$.
Il problema che sto avendo è quello $w$ non è necessariamente un prodotto a cuneo elementare, quindi non ho un modo canonico di pensarlo come un elemento di $V^p$. Qualsiasi idea per questa direzione all'indietro sarebbe molto apprezzata.
Risposte
Permettere $\{e_1,\ldots, e_k\}$ essere una base di $V$ tale che $v_i=e_i$ per $1\le i\le r$. $w\in \bigwedge^p(V) \implies$
$$w = \sum_{\alpha\in P}f_{\alpha}e_{\alpha_1}\wedge\ldots \wedge e_{\alpha_s}$$ Dove $P = \{(i_1,\ldots, i_s) \mid 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_s \le k, s\leq p\}$ e userò $|\alpha|$per denotare il numero di elementi nella tupla. Chiaramente$$v_1\wedge \cdots \wedge v_r = e_{1}\wedge\cdots \wedge e_{r}$$Quindi \ begin {align *} & v_1 \ wedge \ cdots \ wedge v_r \ wedge w = 0 \\ \ implica & e_ {1} \ wedge \ cdots \ wedge e_ {r} \ wedge \ sum _ {\ alpha \ in P} f_ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} = 0 \\ \ implica & \ forall \ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq 0 \ implica \ esiste l_ \ alpha \ leq | \ alpha |, \ alpha_ {l_ \ alpha} \ leq r \ text {(Let$l_\alpha$indica il valore minimo)} \\ \ implica & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ implica & w = \ sum _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m e_ {l_ \ alpha} \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e_ { \ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \\ \ implies & w = \ sum_ {i = 1} ^ rv_ {i} \ wedge \ somma _ {\ alpha \ in P, f_ \ alpha \ neq0, l_ \ alpha = i} f _ {\ alpha} (- 1) ^ m \ wedge e _ {\ alpha_1} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_m} \ wedge e _ {\ alpha_n} \ wedge \ cdots \ wedge e _ {\ alpha_s} \ space \ space (\ alpha_m <l_ \ alpha <\ alpha_n) \ end {align *} Avrei potuto commettere un errore da qualche parte ma l'idea dovrebbe essere chiara . Se hai una notazione che suggerisci di usare per chiarezza, non esitare a commentare!