Algebre booleane complete in modo numerabile

Question

Sto leggendo l'articolo di Tarski "Aspetti assiomatici e algebrici di due teoremi sulle somme di cardinali". A pagina 99, afferma il seguente teorema.

Teorema A Booleano$\sigma$-algebra è isomorfa ad a $\sigma$-algebra degli insiemi se e solo se tutti i suoi elementi $\neq1$ sono contenuti in un numero primo $\sigma$-ideale (cioè, un ideale massimale contenente il sup di qualsiasi famiglia numerabile dei suoi elementi).

La necessità sembra ovvia. Quanto alla sufficienza, Tarski dice che può essere dimostrata nello stesso modo in cui si può provare il teorema della rappresentazione di Pietra. Purtroppo non capisco come. Hai qualche suggerimento in merito?

Answer 1

La dimostrazione è quasi identica alla dimostrazione del teorema di rappresentazione della Pietra; ne aggiungi solo un po '$\sigma$s in luoghi appropriati. Permettere$B$ essere un booleano $\sigma$-algebra e lascia $X$ essere l'insieme dei primi $\sigma$-ideal in $B$. Definire$f:B\to P(X)$ di $f(b)=\{I\in X:\neg b\in I\}$. Poi$f$ è un omomorfismo, ed è infatti un $\sigma$-omomorfismo poiché ciascuno $I\in X$ è un $\sigma$-ideale. Ora, se la tua ipotesi è valida, allora$f$ è iniettiva, da allora $f(b)=\emptyset$ significa che $\neg b$ non è in nessun primo $\sigma$-ideale così $\neg b=1$ e $b=0$. Quindi,$B$ è isomorfo al $\sigma$-algebra degli insiemi data dall'immagine di $f$.