Analoghi quaternionici e ottonionici del problema di Basilea
Ho posto questa domanda in MSE circa 3 mesi fa ma non ho ancora ricevuto risposta, quindi seguendo il suggerimento nei commenti ho deciso di postarla qui.
È un fatto ben noto
$$\sum_{0\neq n\in\mathbb{Z}} \frac{1}{n^k} = r_k (2\pi)^k$$
per qualsiasi numero intero $k>1$, dove $r_k$sono numeri razionali che possono essere dati esplicitamente in termini di numeri di Bernoulli. Ad esempio, per$k=2$ la somma è uguale $\pi^2/3$(questo è essenzialmente il problema di Basilea ), e per$k=4$ è uguale $\pi^4/45$. Nota che per dispari$k$ la somma svanisce.
La teoria delle curve ellittiche con moltiplicazione complessa ci permette di estendere questo risultato a sistemi di interi complessi come gli interi gaussiani , o più in generale l'anello di interi in un campo numerico quadratico immaginario di classe numero 1. Vale a dire, per$k>2$ noi abbiamo
$$\sum_{0\neq \lambda\in\mathbb{Z[\omega]}} \frac{1}{\lambda^k} = r_k \varpi^k,$$
dove di nuovo $r_k$ sono costanti razionali e $\varpi \in \mathbb{R}$ (il complesso $2\pi$") dipende solo dall'anello $\mathcal{O}=\mathbb{Z[\omega]}$ed è un multiplo algebrico di un cosiddetto periodo di Chowla-Selberg , dato da un prodotto di potenze di certi fattori gamma (si noti che la somma è sempre un numero reale poiché è invariante sotto coniugazione). Ad esempio, per l' Eisenstein ($\omega = (1+\sqrt{3} i)/2$), Gaussiana ($\omega = i$) e kleiniano ($\omega = (1+\sqrt{7} i)/2$) interi, abbiamo rispettivamente
$$\varpi_3 = 3^{-1/4} \sqrt{2\pi} \left(\frac{\Gamma(1/3)}{\Gamma(2/3)}\right)^{3/2}, \quad \varpi_4 = 4^{-1/4} \sqrt{2\pi} \left(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)}\right), \quad \varpi_7 = 7^{-1/4} \sqrt{2\pi} \left(\frac{\Gamma(1/7)\Gamma(2/7)\Gamma(4/7)}{\Gamma(3/7)\Gamma(5/7)\Gamma(6/7)}\right)^{1/2}.$$
Per i numeri di classe superiore esiste una formula simile, anche se in quel caso $r_k$in generale non sarà razionale ma algebrico. Una bella esposizione di questo risultato può essere trovata nella Sezione 6.3 di queste note .
La mia domanda è se questo sia ancora vero per i sistemi numerici ipercomplessi, come gli interi di Hurwitz o gli interi ottonionici . Definire$$S_k[\mathcal{O}] = \sum_{0\neq \lambda\in\mathcal{O}} \frac{1}{\lambda^k}$$ per $k>\operatorname{dim} \mathcal{O}$, dove $\mathcal{O}$ è ora un ordine in un'algebra razionale quaternione / ottonione totalmente definita della classe numero 1. La restrizione su $k$ è così che la somma converge assolutamente.
Sottoquestione 1: lo abbiamo$S_k[\mathcal{O}] = r_k \varpi^k$ per qualche sequenza razionale $r_k$ e un numero reale $\varpi$ dipende solo da $\mathcal{O}$ (un "quaternionico / ottonionico $2\pi$")?
Ovviamente $\varpi$sarà definito solo fino a un fattore razionale diverso da zero. Una domanda equivalente è se$(S_m[\mathcal{O}])^n/(S_n[\mathcal{O}])^m$ è razionale per qualsiasi $m, n$ tale che $S_n[\mathcal{O}]\neq 0$.
Domanda secondaria 2: se è così, può (una scelta fissa di)$\varpi$ essere espresso in termini di costanti note come $\zeta'(-1)$ o $\zeta'(-3)$?
Il motivo per cui sto citando queste costanti particolari è che nei casi precedenti (reali e complessi) il periodo $\varpi$ risulta essere uguale a $e^{-\zeta'(\mathcal{O},0)/\zeta(\mathcal{O},0)}$ fino a un fattore algebrico, dove la funzione zeta è attaccata all'anello degli interi $\mathcal{O}=\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Z[\omega]}$ è definito come
$$\zeta(\mathcal{O},s) = \sum_{0\neq \lambda\in\mathcal{O}} |\lambda|^{-s}.$$
(Questo in generale non è lo stesso delle somme precedenti, notare il valore assoluto). Nel caso in cui$\mathcal{O}$ è invece un ordine quaternionico o ottonionico, la derivata logaritmica di questa funzione zeta in $s=0$ può essere espresso in termini di $\zeta'(-1)$ o $\zeta'(-3)$ rispettivamente, dove $\zeta(s)$ è la normale funzione zeta di Riemann.
Ho calcolato numericamente alcune somme per l'anello dei quaternioni di Hurwitz. Il risultato è$$S_6[\mathcal{O}] \approx 10.76,\quad S_8[\mathcal{O}] \approx 1.196,\quad S_{12}[\mathcal{O}] \approx 23.9905.$$
Purtroppo i calcoli richiedono molto tempo e la precisione non è sufficiente per determinare se ad es $S_{12}[\mathcal{O}]/(S_6[\mathcal{O}])^2$ è razionale a qualsiasi grado di fiducia.
Ho anche trovato questo recente articolo di Z. Amir-Khosravi che si riferisce a lavori precedenti di R. Fueter e R. Krausshar . Un certo$3$-famiglia di parametri di funzioni tipo Eisenstein quaternioniche associate a un reticolo in $\mathbb{R}^4$viene introdotto e mostra di godere di relazioni di tipo d'epoca simili a quelle del caso complesso. Sfortunatamente, la forma di queste funzioni è limitata dalla regolarità quaternionica per contenere fattori della norma quaternionica (cfr equazioni (2.5) - (2.7) nel documento), e per quanto posso vedere non sono direttamente correlate alle somme di poteri puri che mi interessano.
Risposte
Questa non è davvero una risposta completa, ma è troppo lunga per un commento e forse è comunque informativo.
La tua somma $S_k[\mathcal{O}]$ può essere scritto come il valore in $s = k$ della somma $$\sum_{0 \ne \lambda \in \mathcal{O}} \frac{\lambda^k}{Nm(\lambda)^s} = \sum_{n \ge 1} a^{(k)}_n n^{-s},$$ dove $a^{(k)}_n := \sum_{N(\lambda) = n} \lambda^k$.
Ora, lo sostengo $\sum_{n \ge 1} a^{(k)}_n q^n$ è il $q$-espansione di una forma modulare - o qualcosa di leggermente più generale, vale a dire una forma quasi modulare [*] - di peso $k + 2$ e un certo livello a seconda $\mathcal{O}$; per gli interi di Hurwitz il livello è$\Gamma_0(2)$. Questo dovrebbe derivare dal pensare alle matrici di Brandt, che sono un modo di calcolare forme modulari usando algebre quaternioniche; vedere ad esempio questo articolo di Kimball Martin.
Ad ogni modo, una volta che sai cosa cercare, ora è abbastanza facile riconoscere le sequenze $(a^{(k)}_n)_{n \ge 1}$ per i piccoli $k$. Ad esempio, quando$k = 6$, quello che ottieni è esattamente il file $q$-espansione di $12f_8$, dove $f_8$è l'unica forma a cuspide modulare normalizzata di peso 8 e livello 2 . Così$S_6[\mathcal{O}]$ è un valore di $L$-serie di forma modulare. In effetti, abbiamo$S_6[\mathcal{O}] = 12 L(f_8, 6) = 10.758540419274832757072...$, che concorda con i tuoi calcoli sopra. Allo stesso modo, a meno che non abbia commesso errori nei miei calcoli, lo abbiamo fatto$$S_8[\mathcal{O}] = 12 \big( L(f_{10}, 8) - L(f_8, 7) \big) = 1.18636076594110...$$ dove $f_{10}$ è la forma a cuspide del peso 10. Dal momento che i periodi di $f_{10}$ e $f_{8}$ non hanno essenzialmente nulla a che fare l'uno con l'altro, questo suggerisce fortemente che non esiste una relazione algebrica ordinata tra $S_6[\mathcal{O}]$ e $S_8[\mathcal{O}]$.
[*] Le forme quasi modulari non fanno troppo paura: sono esattamente l'anello di funzioni che ottieni partendo da forme modulari autentiche e inserendo la funzione $E_2 = 1 - 24\sum \sigma(n) q^n$.
MODIFICARE. Ulteriori esperimenti numerici suggeriscono la seguente formula esplicita: se$\mathfrak{S}(m)$ denota l'insieme di nuove forme normalizzate di livello 2 e peso $m$, quindi per ogni $k \ge 6$ ci sembra di avere $$S_k[\mathcal{O}] = 12\left( \sum_{f \in \mathfrak{S}(k+2)} L(f, k) - \sum_{f \in \mathfrak{S}(k)} L(f, k-1) \right).$$