anello semisemplice implica un modulo semisemplice

Question

Sto tentando di eseguire la parte b del problema seguente.

Ho già fatto parte a usando la proposizione e voglio solo controllare se il mio tentativo per b è corretto.

Permettere $M$ fagiolo $A$-modulo e come suggerito dal problema, lascio $\mathcal{C}$ essere la raccolta di tutti i sottomoduli di $M$che è semisemplice, parziale ordinato per inclusione. Sappiamo che questa raccolta non è vuota poiché possiamo scegliere qualsiasi sottomodulo generato finitamente di$M$e utilizzando la parte a. Qualsiasi catena in questa collezione ha anche un limite superiore prendendo l'unione della catena. Quindi per il lemma di Zorn, abbiamo un sottomodulo$N$ massimo alla condizione di essere semisemplici, quindi $N = \oplus_{i \in I} S_i $ dove $S_i$ è un semplice sottomodulo.

Se $N = M$, allora abbiamo finito. Se$N \neq M$, quindi possiamo scegliere $m \in M \backslash N$. Da$ Am $ è finitamente generato, dalla parte a, lo abbiamo $Am = \oplus_{j \in J} U_j$ dove $U_j$sono semplici. Dal momento che entrambi$U_j$ e $S_i$ sono semplici neanche $U_j \cap S_i = 0$ o il $U_j$potrebbe essere identico ad alcuni dei file $S_i$, quindi sbarazzati di quelli ripetuti per ottenere $J^* \subseteq J$.

Finalmente, $N \subsetneqq N + Am \subseteq N + (\oplus_{j \in J} U_j) = N \oplus (\oplus_{j \in J^*} U_j)$ che quest'ultimo è semisemplice, contraddice la massimalità di $N$.

Il mio argomento sopra è corretto? Grazie a tutti.

Modifica: correzione dal commento di Rschwieb

Come sottolineato da Rschwieb, la somma potrebbe non intersecarsi banalmente come ho pensato con noncuranza. Quindi ricominciare da$Am = \oplus_{j \in J} U_j$ dove $U_j$sono semplici. Da$m \notin N$ e tutti i $U_j$Sono semplici, ne esistono a $U_{\alpha}$ tale che $U_{\alpha} \cap N = 0$.
Poi$N \subsetneqq N + U_{\alpha} = N \oplus U_{\alpha}$ e il secondo è semisemplice, il che contraddice la massimalità di $N$.

Answer 1

La maggior parte ha ragione, ma l'ultima riga non regge: anche se il file $U_j$ intersecare $N$banalmente, non c'è motivo di dire che la loro somma si intersechi $N$banalmente. E dal secondo all'ultimo paragrafo è un po 'confuso sulla manipolazione dei riassunti.

Per esempio, $\{(x,x)\mid x\in F\}$ banalmente si interseca $\{(0,x)\mid x\in F\}$ e $\{(x,0)\mid x\in F\}$, ma la somma degli ultimi due non interseca banalmente il primo.

Comunque, quel ragionamento extra non è nemmeno necessario se conosci l'esercizio di base che i seguenti sono equivalenti:

1. $M$ è una somma diretta di semplici moduli
2. $M$ è una somma di semplici moduli

Per questo motivo, puoi semplicemente concludere "quindi $N+Am$è una somma di moduli semplici, quindi semisemplice. Ma questo contraddice la massimalità di$N$. Perciò$M=N$ innanzitutto."

In alternativa, puoi semplicemente usarne uno solo di$Am$I sottomoduli di disegnare una contraddizione, poiché è vero che deve essere contenuta $N$ o intersecare $N$banalmente. (Ovviamente non tutti$Am$I fattori di possono essere contenuti in $N$.

Ma il tuo approccio è corretto in gran parte.