Big O e Little O

Question

Se $a_n = O(n^\alpha)$ e $b_n = o(n^\beta)$, prova che $a_nb_n = o(n^{(\alpha + \beta)})$ e $a_n+b_n = O(\max(n^\alpha, n^\beta))$.

Per la parte su $a_nb_n = o(n^{(\alpha + \beta)})$, Ho capito che dovrei impostarlo in modo tale

$|a_n| < Mn^\alpha$ per qualche M reale positivo per $n \geq n'$

$|b_n| < \epsilon n^\beta$ per tutti i reali positivi $\epsilon$ per $n \geq n''$

Quindi scelgo il massimo di n 'e n' 'e ottengo

$|a_nb_n| < M\epsilon n^\alpha n^\beta$.

La mia domanda è: questo finisce la prova? Se c'è una M reale positiva moltiplicata per$\epsilon$, fa quella mappa a tutti $\epsilon$? Come lo denoti? Penso che questa sia una vera prova di analisi qui o posso semplicemente dire che una costante moltiplicata per epsilon è solo epsilon?

Per la dimostrazione della somma, diventa grande-O piuttosto che piccolo-O perché non può essere mappato $\epsilon$ quando aggiungi le due parti?

Grazie in anticipo per l'aiuto.

Answer 1

Per $a_n$ si utilizza la definizione corretta, ad es $a_n \in O(n^\alpha)$: $\exists C>0, \exists N_1 \in \mathbb{N}, \forall n>N_1, |a_n| \leqslant C n^\alpha$.

Per poco$o$ per $b_n \in o(n^\beta)$ usiamo la seguente definizione: $\exists \varepsilon_n, \lim\limits_{n \to \infty}\varepsilon_n=0$ e $ \exists N_2 \in \mathbb{N}$ tale che $ \forall n>N_2, b_n=\varepsilon_n n^\beta$.

Quindi, prendendo $n>\max(N_1,N_2)$ noi abbiamo $a_n \cdot b_n= \frac{a_n \varepsilon_n}{n^\alpha} \cdot n^{\alpha+\beta} = \phi_n n^{\alpha+\beta}$. Dobbiamo dimostrarlo$\phi_n \to 0$: $|\phi_n| = |\frac{a_n \varepsilon_n}{n^\alpha}| \leqslant C |\varepsilon_n|\to 0$.

Spero che sarai in grado di finire secondo usando sopra.