Calcoli con numeri complessi

Question

Così ho incontrato questa domanda oggi nel mio libro di matematica, e non so come ottenere la risposta giusta anche se sembra davvero facile, voglio solo sapere come farlo per dormire un po '.

Questa è la domanda:

Quando il numero complesso $z=r(\cos\theta + i \sin\theta)$ dimostralo $z-\frac{1}{z}=i(2r\sin\theta)$

Non ho fatto molto per questa domanda oltre a farlo usando il numero complesso effettivo: $$\frac{z^2-1}{z}$$

Qualcuno può mostrarmi come provare questa domanda, qualsiasi aiuto è apprezzato.

Answer 1

L'identità non è vera, anzi ce l'abbiamo

$$z-\frac1z=z-\frac{\bar z}{|z|^2}=r(\cos\theta + i \sin\theta)-\frac1r(\cos\theta - i \sin\theta)=\left(r-\frac1r\right)\cos \theta+\left(r+\frac1r\right)i\sin \theta$$

l'identità è vera solo per $\left(r-\frac1r\right)=0$ e $\left(r+\frac1r\right)=2r$ questo è $r=1$ o $z=e^{i\theta}$.

Answer 2

Cosa è uguale a $\:2ir\sin\theta\:$ è $\:z -\color{red}{\bar z}$.

Adesso $\bar z=\dfrac 1 z\:$ se e solo se $z$ ha modulo $1$.