Come derivare la soluzione "ben nota" per Unconstrained Array Gain?
Qualcuno può indicarmi una pagina web o un'altra risorsa che mostra come risolvere analiticamente l'espressione Unconstrained Array Gain del beamformer nel documento IEEE del 1987 di Henry Cox "Robust Adaptive Beamforming"?
$$ \max_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$
Cox ha detto:
La soluzione ben nota è $\mathbf{w} = \alpha\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}$
Vorrei solo capirlo meglio imparando a derivarlo da solo.
Risposte
Puoi risolvere un problema del genere usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange . Prima nota che massimizzare l'espressione nella tua domanda equivale a ridurre al minimo la funzione inversa:
$$\min_{\mathbf{w}}\frac{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}}{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}\tag{1}$$
Nota successiva che la soluzione di $(1)$ è invariante al ridimensionamento di $\mathbf{w}$, ovvero sostituzione $\mathbf{w}$ di $c\cdot\mathbf{w}$ nel $(1)$ con una costante scalare arbitraria $c$non cambierà il valore della funzione. Quindi possiamo anche usare un ridimensionamento tale$\mathbf{w}^H\mathbf{d}=1$è soddisfatto. Questa scalatura corrisponde a una risposta unitaria per il segnale desiderato. Con questo vincolo, problema$(1)$ può essere riformulato come
$$\min_{\mathbf{w}}\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}\qquad\textrm{s.t.}\qquad \mathbf{w}^H\mathbf{d}=1\tag{2}$$
Possiamo risolvere $(2)$ utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange minimizzando
$$\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-\lambda(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-1)\tag{3}$$
Formalmente prendendo il derivato di $(3)$ riguardo a $\mathbf{w}^H$ e impostarlo a zero dà
$$\mathbf{w}=\lambda\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}\tag{4}$$
Il vincolo in $(2)$ è soddisfatto per
$$\lambda=\frac{1}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{5}$$
A partire dal $(4)$ e $(5)$ finalmente otteniamo
$$\mathbf{w}=\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}\tag{6}$$
Nota che il ridimensionamento $(6)$ è opzionale e la soluzione generale è data da $(4)$.
Innanzitutto, uno schizzo della soluzione per il problema del beamformer SINR massimo $$ \text{max}_{\mathbf{w}} \frac{|\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2}{\mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}} $$ Inizia scrivendo un funzionale $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w} $$da ridurre al minimo e una serie di vincoli . Infatti, i vettori di peso w e w H sono considerati i due insiemi di variabili indipendenti quando si prendono le derivate rispetto a queste variabili; pertanto, l'energia del segnale di uscita, tipicamente scritta come modulo quadrato del coprodotto pesi-segnali, deve essere annotata come funzione analitica, senza calcolare la norma che prende la radice quadrata:$$ |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 = \mathbf{w}^H\mathbf{d}·\mathbf{d}^H\mathbf{w} $$ L'insieme di vincoli lineari risultante è $$ \mathbf{w}^H\mathbf{d} = c \\ \mathbf{d}^H\mathbf{w} = c^* $$ e dobbiamo scrivere una lagrangiana con due moltiplicatori di Lagrange, λ e μ: $$ \mathbf{w}^H\mathbf{Q}\mathbf{w}-λ(\mathbf{w}^H\mathbf{d}-c)-μ(\mathbf{d}^H\mathbf{w}-c^*) $$Prendendo le due derivate della lagrangiana - la prima, rispetto a w , e la seconda, rispetto a w H - si ottengono le espressioni per λ e μ e, sostituendole alle espressioni di vincolo, si arriva infine alla formula per pesi:$$ \mathbf{w}=c\frac{\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{d}} $$Con mia grande sorpresa, cercando in un web "una pagina web o un'altra risorsa che mostri come risolvere analiticamente il beamformer" su richiesta dell'OP, ho potuto trovare solo versioni ridotte e imperfette della derivazione di questa formula, un documento tipico sono le note del corso Optimal Beamforming , una dettagliata e utile introduzione all'argomento in tutti gli altri aspetti. Sospetto persino che l'OP abbia pubblicato la domanda con lo scopo di trasmettere questa omissione della risorsa di apprendimento (scusate il mio goffo tentativo di scherzare).
Per ora, posso solo consigliare il materiale didattico sulla programmazione quadratica con vincoli lineari generali agli studenti interessati al beamforming ottimale. Ad esempio, refs.https://www.math.uh.edu/~rohop/fall_06/Chapter3.pdf e https://www.cis.upenn.edu/~cis515/cis515-20-sl15.pdf. In questi documenti sono considerate solo le forme quadratiche a valori reali, ma i risultati principali possono essere generalizzati al dominio complesso.