Come lo integro $d^3p$ integrante?

Question

Ho tentato di integrare quanto segue:

$$\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{p}{T} \sin^2 (2\theta) \frac{1}{e^{p/T}+1}$$

per fare questo ho scelto di utilizzare coordinate sferiche che hanno originato il problema menzionato in Come integrarlo per parti? (se è per parti)

L'uso di tali coordinate porta a questa equazione:

$$\frac{1}{2\pi^3}\int^{2\pi}_0 \int^ \pi _0 \int ^\infty _0 dp d\theta d\phi \hspace{1mm}\frac{p}{T} \sin^2 2\theta \frac{1}{e^{p/T} +1} p^2 \sin \theta $$

Ho tentato di integrarlo ma non ho avuto successo e quel collegamento è uno dei motivi del perché.

Answer 1

Suggerimento:$$\int_0^\pi\sin\theta\sin^22\theta d\theta=8\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\cos^2\theta d\theta=4\operatorname{B}(2,\,\tfrac32)=\frac{16}{15}$$e$$\int_0^\infty\frac{x^3dx}{e^x+1}=\Gamma(4)\eta(4)=24(1-2^{-3})\zeta(4)=\frac{7\pi^4}{30}.$$