Cos'è una teoria dei campi fermionici?
Permettere $\mathscr{H}$ essere uno spazio di Hilbert e $\mathscr{H}^{n}$ essere l'associato $n$-piega prodotto tensoriale di questo spazio di Hilbert. Salterò i dettagli matematici in quanto segue, ma il mio approccio segue il libro di Reed & Simon . Possiamo definire un operatore$A_{n}$, chiamato operatore antisimmetrico, che è una proiezione ortogonale su $\mathscr{H}^{n}$ al suo sottospazio antisimmetrico $A_{n}\mathscr{H}^{n}$. Matematicamente, possiamo definire quello che di solito viene chiamato uno spazio di Fock fermionico $\mathcal{F}_\text{fer}$ di: $$\mathcal{F}_\text{fer} := \bigoplus_{n=0}^{\infty}A_{n}\mathscr{H}^{n}$$ dove $A_{0}\mathscr{H}^{0} := \mathbb{C}$ e $A_{1}\mathscr{H}^{1} := \mathscr{H}$. Possiamo procedere e definire operatori su$\mathcal{F}_\text{fer}$, come l'Hamiltoniano, gli operatori di creazione e annichilazione e così via. La procedura per farlo è fondamentalmente la seguente: abbiamo un dato operatore$T$ sopra $\mathscr{H}$ e lo estendiamo a $\mathscr{H}^{n}$utilizzando una procedura chiamata seconda quantizzazione e quindi definisci$T$ sopra $\mathcal{F}_\text{per}$ lasciandolo agire su ogni 'componente' $A_{n}\mathscr{H}^{n}$.
Lo scenario sopra è praticamente generale, ed è fondamentalmente matematica. Tuttavia, il nome "fermionico" ha sempre attirato la mia attenzione. Ero sicuro che questa fosse la formulazione matematica di un sistema di molti fermioni in un certo senso, e questo avrebbe giustificato il nome. Tuttavia, col passare del tempo ho trovato alcuni modelli molto diversi che sembrano essere descritti dal formalismo di cui sopra. Permettetemi di darvi alcuni rapidi esempi informali:
(1) Possiamo prendere$\mathscr{H} = L^{2}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{C})$ lo spazio delle funzioni quadrate integrabili a valori complessi definite su $\mathbb{R}^{d}$.
(2) Se siamo in uno spazio discretizzato, possiamo sostituire$\mathbb{R}^{d}$ nell'esempio sopra da qualche insieme finito $\Lambda$. Questo insieme finito potrebbe essere un reticolo finito o anche il prodotto cartesiano di un reticolo finito e un insieme di "spin" finito.
(3) Se stiamo pensando ai campi di Dirac, sembra che il proprio Hilbert$\mathscr{H}$ è $\mathbb{C}^{2}$, che rappresenta la linea di rotazione ${1}\choose{0}$ e ${0}\choose{1}$.
Questi tre esempi (e forse altri) si trovano in molti libri diversi sotto lo stesso nome di "sistema fermionico" o "teoria del campo fermionico".
Domanda: Non so se tutti questi tre esempi siano solo realizzazioni diverse di un solo sistema fisico, ma credo che non lo sia . Quindi, sembra che da una teoria del campo fermionico, di solito si pensi a uno spazio di Fock fermionico$\mathcal{F}_\text{fer}$ insieme a qualche seconda hamiltoniana quantizzata $H$agendo su questo spazio di Fock, quindi ci sono in realtà molte diverse realizzazioni delle teorie dei campi fermionici piuttosto che una sola. È accurato?
Risposte
Una teoria dei campi fermionici non è caratterizzata dal suo spazio di Hilbert. È caratterizzato dalle relazioni algebriche tra i suoi operatori di campo.
Una teoria di campo fermionica è quella le cui osservabili sono costruite da operatori di campo $\psi_n(x)$ che soddisfano le relazioni di anticommutazione a tempo uguale \begin{align} \{\psi_n(x,t),\psi_m(y,t)\} &= 0 \\ \{\psi_n(x,t),\psi_m^\dagger(y,t)\} &= 0\text{ if }x\neq y\text{ or }n\neq m, \end{align} dove $\{A,B\}\equiv AB+BA$. Il principio di esclusione di Pauli è una conseguenza di ciò. Le varie costruzioni descritte nella domanda possono essere utilizzate come modi diversi di rappresentare tali operatori su uno spazio di Hilbert.
La mia risposta https://physics.stackexchange.com/a/582216fornisce alcuni commenti generali sulle rappresentazioni. Il messaggio centrale è che lo stesso spazio di Hilbert non ci dice quasi nulla di una teoria. Il modello di osservabili è ciò che conta. Diversi modi di rappresentare lo spazio di Hilbert possono essere più o meno convenienti per diversi modelli di osservabili, ma ciò che conta sono le osservabili.
Sì, ci sono molte diverse teorie sui campi fermionici. L'Hamiltoniano$H$stesso può essere sufficiente per distinguere tra alcuni di essi, ma l'hamiltoniano è solo un operatore. La relazione tra l'hamiltoniano e gli altri osservabili è più perspicace, e tale relazione è implicita ogni volta che la esprimiamo$H$in termini di operatori di campo, perché anche altre osservabili sono espresse in termini di operatori di campo. Si noti che gli osservabili devono commutare tra loro a una separazione spaziale (questo è uno dei principi di causalità), quindi un osservabile implica necessariamente un prodotto di un numero pari di operatori di campo anti-pendolarismo.
A proposito, di tanto in tanto, vedo il nome "fermione" usato come sinonimo di qualcosa il cui spin è un multiplo dispari di $\hbar/2$. Nella teoria quantistica relativistica dei campi, la connessione statistica di spin giustifica questo linguaggio. Ma più in generale, quella connessione non regge: un fermione (qualcosa i cui operatori di campo anticommutano) non ha necessariamente un tale spin, o viceversa.