Derivato di Bessel $K$

Question

Mi interessa la prima derivata del Bessel $K$funzione rispetto al suo parametro. Userò la seguente notazione;$K^{(1,0)}(n,z):= \frac{\partial}{\partial \nu} K_\nu(z) \bigg|_{\nu = n}$

Ho dato un'occhiata ad alcune espressioni diverse per $K^{(1,0)}$, ad esempio qui: https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/20/01/01/

Le espressioni mi sembrano piuttosto feroci; coinvolgendo somme infinite su un mucchio di funzioni gamma e funzioni digamma ecc. Non ho molta esperienza nella manipolazione di questo tipo di serie.

Tuttavia queste espressioni sono per generale $n\in \mathbb{Z}$ o $n \notin \mathbb{Z}$e al momento sono interessato solo a $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$. So che$K_{\frac{1}{2}}(z)$ semplifica notevolmente rispetto a un generale $K_\nu(z)$, quindi credo che ci possa essere qualche speranza che $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ potrebbe anche semplificare rispetto a $K^{(1,0)}(n,z)$.

Qualcuno sa se è possibile dare un'espressione semplificata per la derivata $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ del Bessel $K$ funzione?

Answer 1

Questa derivata è esplicitamente tabulata ( DLMF ) \ begin {equation} \ left. \ Frac {\ partial K _ {\ nu} \ left (x \ right)} {\ partial \ nu} \ right | _ {\ nu = \ frac {1} {2}} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} E_ {1} \ left (2x \ right) e ^ {x} \ end {equation} dove \ begin {equation} E_ { 1} \ left (z \ right) = \ int_ {z} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- t}} {t} \ mathrm {d} t \ end {equation} è l'integrale esponenziale.