Differenziale di matrice di Gram

Question

Ho la funzione con valori di matrice $M=AXX^\top A^\top$e sto cercando un'espressione per la sua derivata rispetto a ciascun elemento di $X$. Qui$A$ è $n\times n$ e $X$ è $n\times m$ con $m\leq n$

Quindi sto cercando qualcosa della forma $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}} = D^{ij}$ con $D^{ij}_{kl} = \frac{\partial M_{kl}}{\partial X_{ij}}$.

Scavando nel Matrix Cookbook, non sono riuscito a trovare questa o altre espressioni più generali che sembravano utili.

Il più vicino che ho potuto trovare è stata l'identità:$$\frac{\partial}{\partial X} b^\top X^\top X c = X (bc^\top + cb^\top)$$ dove $b$ e $c$sono vettori. Penso che questo possa contenere la soluzione, ma non sono sicuro di come generalizzarlo.

Answer 1

Possiamo calcolare la derivata $\frac{dM}{dX}$ come derivata direzionale: \begin{align*} \frac{dM}{dX}(Y) &= \lim_{t \to 0} \frac{M(X + tY) - M(X)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} \, . \end{align*} Semplificando il numeratore, troviamo \begin{align*} A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top &= A(X+tY) (X^\top+tY^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= A (X X^\top + tY X^\top + tXY^\top + t^2 Y Y^\top) A^\top - AXX^\top A^\top\\ &= tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top \, . \end{align*} Così \begin{align*} \lim_{t \to 0} \frac{A(X+tY) (X+tY)^\top A^\top - AXX^\top A^\top}{t} &= \lim_{t \to 0} \frac{tA(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t^2 A Y Y^\top A^\top}{t}\\ &= \lim_{t \to 0} A(Y X^\top + XY^\top)A^\top + t A Y Y^\top A^\top\\ &= A(Y X^\top + XY^\top)A^\top \, . \end{align*}

Come accennato nei commenti, il parziale $\frac{\partial M}{\partial X_{ij}}$ può quindi essere trovato sostituendo $Y = E_{ij}$, la matrice con estensione $1$ nel $i,j$ingresso e zeri altrove. Così\begin{align*} \frac{\partial M}{\partial X_{ij}} &= \frac{dM}{dX}(E_{ij}) = A(E_{ij} X^\top + XE_{ij}^\top)A^\top = A(E_{ij} X^\top + X E_{ji})A^\top \, . \end{align*}