Dimostralo $T$ è un operatore limitato

Question

Ho il seguente problema:

Sopra $C^1([0,1],\mathbb{R})$ considera la norma $\Vert f \Vert=\Vert f'\Vert_\infty+\Vert f \Vert_\infty$. Permettere$g,h\in C([0,1],\mathbb{R})$ essere risolto e $C([0,1],\mathbb{R})$ dotato di $\Vert \cdot \Vert_\infty $-norma. Definisci l'operatore$T:C^1([0,1],\mathbb{R})\rightarrow C([0,1],\mathbb{R})\\ (Tf)(t)=g(t)f'(t)+h(t)f(t).$ Dimostralo $T$ è lineare e limitato.

L'ho dimostrato $T$ è lineare, ma ho qualche problema a dimostrarlo $T$è limitato. Questo è quello che ho provato:$\Vert (Tf)(t) \Vert = \Vert g(t)f'(t)+h(t)f(t) \Vert = \Vert [g(t)f'(t)+h(t)f(t)]'\Vert_\infty+\Vert g(t)f'(t)+h(t)f(t) \Vert_\infty = \Vert g'(t)f'(t)+g(t)f''(t)+h'(t)f(t)+h(t)f'(t)\Vert_\infty+\Vert g(t)f'(t)+ h(t)f(t) \Vert_\infty \leq \Vert g'(t)f'(t)\Vert_\infty+\Vert g(t)f''(t)\Vert_\infty +\Vert h'(t)f(t)\Vert_\infty+\Vert h(t)f'(t)\Vert_\infty+\Vert g(t)f'(t)\Vert_\infty+\Vert h(t)f(t) \Vert_\infty $

Sto cercando di dimostrarlo $\Vert (Tf)(t) \Vert \leq \mu \Vert f(t) \Vert$ per alcuni $\mu>0$secondo la definizione di operatore lineare limitato. Non vedo come ciò che ho fatto finora porterà a questo; sto facendo qualcosa di sbagliato?

Answer 1

Il co-dominio è dotato della norma sup, quindi devi solo guardare $\|gf'+hf\|_{\infty}$ e non $\|Tf\|$. Una volta che ti rendi conto di questo, sono sicuro che puoi dimostrare la tua limitazione$T$facilmente. Infatti$\|T\|\leq \max \{\|g\|_{\infty},\|h\|_{\infty}\}$

Answer 2

Consentitemi di astrarre un po 'di questo in modo da poter vedere più chiaramente cosa sta succedendo qui. Permettere$X = C^1([0,1])$ e $Y = C([0,1])$. $X$ è dotato di norma $\|f\|_X = \|f\|_{\infty} + \|f'\|_{\infty}$. $Y$ è dotato di norma $\|f\|_Y = \|f\|_{\infty}$. $T$ è una mappatura di $X$ per $Y$, quindi per esempio la norma dell'operatore di $T$ sarebbe

$$\|T\| = \sup_{\|f\|_X=1} \|Tf\|_Y = \sup_{\|f\|_{\infty}+\|f'\|_{\infty}=1} \|Tf\|_{\infty} = \sup_{\|f\|_{\infty}+\|f'\|_{\infty}=1} \|f'g+fh\|_{\infty}.$$

Per dimostrarlo $T$ è limitato, vuoi dimostrare che esiste $C > 0$ tale che $\|Tf\|_Y \le C \|f\|_X$, ie

$$\|f'g+fh\|_{\infty} \le C(\|f\|_{\infty} + \|f'\|_{\infty})$$

che equivale a mostrare $\|T\| < \infty$. Può non essere banale trovare la norma esatta dell'operatore, quindi tendiamo ad accontentarci di mostrare solo la limitazione.