Dimostrare che il set è collegato al percorso

Question

Permettere $A$ essere il seguente sottoinsieme di $\Bbb R^2$:

$$A=\left\{(x,y)\in\Bbb R^2:(x+1)^2+y^2\leq 1\right\}\cup \left\{(x,y)\in\Bbb R^2: y=x\text{sin}\left(\frac{1}{x}\right),x>0\right\}$$.

Dimostrare o confutare che l'insieme è connesso al percorso.

Definizione: uno spazio$X_\tau$ è il percorso connesso se per ogni coppia di punti $x_0,x_1\in X$, esiste un percorso $\alpha:[0,1]_\mathfrak{U}\to X$ con $\alpha(0)=x_0$ e $\alpha(1)=x_1$.

Come risolvere il problema di cui sopra?

Answer 1

Innanzitutto usa il fatto che un'unione di due sottoinsiemi collegati al percorso, la cui intersezione non è vuota, è collegata al percorso. Quindi prova a dimostrare per ciascuno di essi separatamente che sono collegati al percorso.

Il set a sinistra è una palla, quindi è convesso. Cioè, è abbastanza facile vedere che la linea retta tra due punti qualsiasi al suo interno è contenuta in esso, e quindi è un percorso tra di loro.

L'insieme a destra è il grafico di una funzione continua (beh, devi dimostrare che è continua, immagino). Chiama questa funzione$f$. Quindi due punti qualsiasi in esso sono della forma$(x_1,f(x_1))$ e $(x_2,f(x_2))$ed è facile vedere il percorso $\varphi:[x_1,x_2]\to\Bbb{R}^2$ definito da $\varphi(t)=(t,f(t))$ è un percorso tra di loro.