distanza del problema impostato

Question

$\Omega$ è un sottoinsieme aperto di $\mathbb{R}^n$.permettere $A\subset \Omega$ essere il sottoinsieme compatto di $\mathbb{R}^n$.

Dimostra la distanza $d(\partial \Omega,A)>0$

La mia prova, presumo $d(\partial \Omega,A) = \inf_{x\in A}d(\partial\Omega,x) = 0$, quindi esiste una sequenza $(x_n)\in A$ tale che $d(\partial \Omega,x_n) <\frac{1}{n}$ .Ora da allora $A$ è limitato, esiste sottosequenza di convergenza, $x_{n_k}\to x\in A$(da $A$ è chiuso.)

Quindi per continunità della funzione distanza abbiamo $d(\partial\Omega,x) = 0$ il che implica $x\in \partial\Omega$ (da $\partial \Omega$ è chiuso), il che è contraddizione poiché nessuna intersezione di $\partial\Omega$ e $A$ a causa di $\Omega$ è aperto.

La domanda è che uso l'ipotesi $A$ è un insieme limitato per costruire la sequenza, ma in realtà questa condizione limitata non sembra necessaria, quindi come provare se assumiamo solo $A$ è un sottoinsieme chiuso di $\mathbb{R}^n$ che contiene in $\Omega$?

Answer 1

Questo è falso se lasciamo cadere la compattezza: Let $\Omega=\bigcup (2n,2n+1)$ e $A=\{2n+\frac 1 n: n \geq 1\}$. Poi$A$ è un sottoinsieme chiuso dell'insieme aperto $\Omega$ e $d(\partial \Omega, A) \leq |2n-(2n+\frac 1n) |=\frac 1n $ per tutti $,n$. Così$d(\partial \Omega, A)=0$