È $c_{00}^*$ denso $c_0^* $

Question

lo so $c_{00}$ è denso $c_0$ in $l_1$. È anche vero che$c_{00}^*$ denso $c_0^* $?

E in $l_\infty$? So che non è vero$c_{00}$ è denso $c_0$ in $l_\infty$. Ma l'ho visto da qualche parte$c_{00}$ è denso $c_0$ in $l_\infty$.

Perché è vero?

Grazie!

Answer 1

Ovviamente $c_{00}$ è denso $c_0$nella norma dell'infinito. Se$(x_n)\in c_0$ e $\varepsilon>0$, quindi possiamo trovare $n_0$ st per tutti $n\geq n_0$ noi abbiamo $|x_n|<\varepsilon$. Impostato$y=(x_1,\dots,x_{n_0},0,0,\dots)\in c_{00}$. Poi$\|x-y\|_{\infty}=\sup_{n\geq n_0}|x_n|\leq\varepsilon$.

Ora riguardo ai doppi. Se$X$ è uno spazio normato e $Y$ è un sottospazio di $X$, poi $Y^*\subset X^*$: Questo non è banale! Questo ha senso per il teorema di Hahn-Banach: qualsiasi funzionale su un sottospazio può essere esteso a un funzionale della stessa norma definita sull'intero spazio. Ora se$Y$ è denso $X$, allora questa estensione è unica (perché?). Questo dimostra che$Y^*\cong X^*$, quindi per rispondere alla tua domanda, da allora $c_{00}$ è denso $c_0$, ce l'abbiamo $c_{00}^*$ è denso $c_0^*$, poiché sono isometricamente isomorfe.