È mio $\epsilon$- $\delta$ calcolo corretto?

Question

Devo dimostrarlo $\lim_{x \to 1} x^4-1 =0$. Ecco come l'ho fatto:$\mid x^4-1 \mid = \mid x-1 \mid\mid x+1 \mid\mid x^2+1 \mid < \epsilon \qquad$ e poiché siamo vicini a 1, possiamo supporre che il $\delta$-quartiere di $c=1$ deve avere un raggio di max $\delta =1$ il che implica che: $\mid x+1 \mid \le 2 \quad and \mid x^2+1 \mid \le 2 \quad \forall x \in V_{\delta}(c) \quad$
Adesso scegliamo $\delta=min \left \{1,\frac{\epsilon}{4}\right\} \quad$ e possiamo concludere che se $\mid x-1 \mid < \delta$, ne consegue che $\mid x^4-1 \mid = \mid x-1 \mid\mid x+1 \mid\mid x^2+1 \mid < 4\frac{\epsilon}{4} =\epsilon$. Questo calcolo è corretto? Mi manca qualcosa? O qualche dettaglio?

Answer 1

Tu vuoi $$ |x^2+1||x+1||x-1|<\varepsilon $$ vicino $x=1$.

Il primo passo è controllare la quantità$|x^2+1||x+1|$ vicino $x=1$. Quindi prima limitare$x$ così che $|x-1|<1=\delta_1$. Questo significa$0<x<2$, e quindi $|x+1|<3$ mentre $x^2+1<5$. Quindi$$ |x-1|<1=\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |x^2+1||x+1|<15, $$ e quindi $$ |x-1|<1=\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |x^4-1|=|x^2+1||x+1||x-1|<15|x-1|, $$ Ora abbiamo $$ |x-1|<\delta=\min\Big\{1,\frac{\varepsilon}{15}\Big\}\quad\Longrightarrow\quad |x^4-1|<15|x-1|<15\cdot\frac{\varepsilon}{15}=\varepsilon. $$

Answer 2

Suggerimento

Quando hai scattato $$\delta=\min(\color{red}{1},...)$$

questo significa che l'hai assunto $$|x-1|<\color{red}{1}$$

che dà $$-1<x-1<1 \iff 1<x+1<3$$

Quindi, la tua disuguaglianza $|x+1|<2$ dovrebbe essere sostituito da $ |x+1|<3$

e

$|x^2+1|<2 $ di $ |x^2+1|<5$.

Answer 3

Puoi anche esprimere $x^4-1$ in poteri di $x-1$ come in $$|x^4-1| = |((x-1)+1)^4-1| = |(x-1)^4+4(x-1)^3+6(x-1)^2+4(x-1)|.$$ Se assumiamo $|x-1| < \delta$, la disuguaglianza del triangolo dà $$|x^4-1| \le |x-1|^4+4|x-1|^3+6|x-1|^2+4|x-1| < \delta^4+4\delta^3+6\delta^2+4\delta.$$ Adesso vogliamo $\delta^4+4\delta^3+6\delta^2+4\delta \le \varepsilon$. Da$$\delta^4+4\delta^3+6\delta^2+4\delta =\delta(\delta^3+4\delta^2+6\delta+4)$$ dobbiamo solo limitare il secondo fattore poiché il primo è semplicemente $\delta$. Se impostiamo$\delta = \min\left\{1, \frac\varepsilon{15}\right\}$, noi abbiamo $$|x^4-1| \le \delta(\delta^3+4\delta^2+6\delta+4) \le \delta \cdot (1+4+6+4) = 15\delta \le 15\cdot \frac\varepsilon{15} = \varepsilon.$$