Ergodicità in trasformazione

Question

Supponiamo $\Omega := [0,1]^{\mathbb Z}$ è dotato della topologia del prodotto e dotato del Borel $\sigma$-algebra $\mathcal B(\Omega)$ e c'è una misura di probabilità $\mathbb P$ su $(\Omega,\mathcal B(\Omega))$ tale che il turno $T:\Omega \to \Omega$, $$T(\omega)(k) := \omega(k+1),\quad \omega\in\Omega,k\in \mathbb Z$$ è misura preservare, vale a dire $\mathbb P = \mathbb P \circ T^{-1}$ su $\mathcal B(\Omega)$ed ergodico, cioè $A=T^{-1}(A)$ implica $\mathbb P (A)\in\{0,1\}$ per ogni $A\in\mathcal B(\Omega)$. Adesso molla$f:[0,1]^3\to[0,1]$ una funzione misurabile e $U:\Omega \to \Omega$ la trasformazione definita da $$ U(\omega)(k) := f(\omega(2k-1),\omega(2k),\omega(2k+1)),\quad \omega\in\Omega,k\in\mathbb Z.$$ Consideriamo la misura di probabilità $\widetilde {\mathbb P}:= \mathbb P\circ U^{-1}$ dove $U^{-1}$ denota la prima immagine.

Quindi, da $T\circ U= U\circ T^2$, lo tiene $(\Omega,\mathcal B(\Omega), \widetilde {\mathbb P},T)$è ancora un sistema dinamico che preserva le misure. È anche ergodico?

Modifica: quali sono gli esempi di misure di probabilità$\mathbb P$ su $\mathcal B(\Omega)$ e set $A\in\mathcal B(\Omega)$ tale che $T^{-2}(A)=A$ ma $\mathbb P(A)\notin \{0,1\}$ (e quindi necessariamente $T^{-1}(A)\neq A$)?

Answer 1

La risposta è negativa: Let \begin{align*} \mathbb P &:= \frac 1 2 \left(\delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} + \delta_{\left(\mathbb 1_{2 \mathbb Z+1}(k)\right)_{k\in \mathbb Z}} \right), \\ A &:= \left\lbrace (1)_{k\in\mathbb Z} \right\rbrace ,\\ f(x,y,z) &:= y. \end{align*}

La probabilità $\mathbb P$ corrisponde all'irriducibile catena di Markov nello spazio degli stati $\{0,1\}$ con matrice di transizione $P = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1& 0\end{pmatrix}$ che ha una distribuzione stazionaria unica $(\frac 1 2 \,\,\, \frac 1 2)$. Alla luce della risposta a questa domanda matematica, SE mette in dubbio il sistema dinamico$(\Omega,\mathcal B(\Omega),\mathbb P, T)$preserva la misura ed è ergodico (ma non si mescola). Adesso,$T^{-1}(A)=A$ ma $$U^{-1}(A) = \prod_{k\in \mathbb Z} \begin{cases} \{1\},&\quad k\in 2 \mathbb Z \\ [0,1],&\quad k\in 2\mathbb Z+1\end{cases}, $$ donde $\widetilde{\mathbb P}(A) = \frac 1 2 $.