$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: x\mapsto (e^{t\sin(x)})_{ t\in \mathbb{R}}$

Question

Ho la seguente funzione:

$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{\mathbb{R}}: x\mapsto (e^{t\sin(x)})_{ t\in \mathbb{R}}$

Devo indagare se questa funzione è continua. Sono intimidito dallo spazio$ \mathbb{R}^{\mathbb{R}}$. Esiste una regola generale su come affrontare tali problemi?

Suppongo di aver bisogno di usare spazi topologici / spazi metrici per fare qualsiasi cosa qui. Il mio ingenuo tentativo all'inizio era questo:

$f_1:x \mapsto \sin(x)$ è continuo. $f_2:x\mapsto e^x$è continuo. Perciò,$f_1\circ f_2$è anche continuo, poiché lo so dalla topologia generale. Ma ho una serie di funzioni qui e ho bisogno di utilizzare in qualche modo la topologia del prodotto ...

Qualche aiuto su questo?

Answer 1

Per gli spazi $X, Y$, ci sono molte possibili topologie per $Y^X$ (come interpretato come $Y^X = \mathcal C (X,Y)$, lo spazio delle mappe continue$X → Y$), i due esseri più naturali

• la topologia compatta-aperta , che è la topologia più grossolana tale che tutti gli insiemi di funzioni sono aperti che mappano qualche insieme compatto$X$ a qualche insieme aperto fisso di $Y$, e
• la topologia del prodotto , che è la topologia più raffinata che rende tutte le proiezioni - in questo caso interpretabili come valutazioni -$Y^X → Y,~h ↦ h(x)$ per $x ∈ X$ continuo.

Per la topologia compatta-aperta . Per spazi topologici$X$, $Y$ e $Z$ con $Y$essendo localmente compatto, risulta essere una biiezione chiamata legge esponenziale , vale a dire $$Z^{X×Y} \to (Z^Y)^X$$ Questa biiezione è anche chiamata curry .

In questo caso, la versione non curata del tuo file $f$ è la mappa $$ℝ × ℝ → ℝ,~(x,t) ↦ \mathrm{e}^{t \sin x}.$$ Ora la legge esponenziale lo implica $f$ è continuo se e solo se questa mappa è - quindi è?

Per la topologia del prodotto , una mappa$f \colon X → Z^Y$ è continuo se e solo se tutte le sue componenti, dato da $X → Z,~x ↦ f(x)(y)$ per $y ∈ Y$ siamo.

Nel tuo caso, i componenti sono per tutti $t ∈ ℝ$ dato da $$ℝ → ℝ,~x ↦ \mathrm{e}^{t\sin x}.$$ Questi sono continui?

Avvertimento . Come sottolinea Asaf Karagila,$Y^X$è normalmente interpretato solo come l'insieme di tutte le mappe$X → Y$, nel qual caso la topologia più naturale è di nuovo la topologia del prodotto, ancora una volta definita come la topologia più raffinata che fa tutte le proiezioni $Y^X → Y,~h ↦ h(x)$ per $x ∈ X$continuo. In questo caso, la discussione sulla topologia del prodotto è ancora valida ed è possibile verificare la continuità di$f$ componente-saggio.