Fascio normale e piccola contrazione in tre volte

Question

Permettere $f:X \to \mathbb{A}^1$ essere un morfismo liscio e proiettivo di dimensione relativa $2$. Supponiamo che la fibra$X_0:=f^{-1}(0)$ contiene una curva razionale irriducibile, diciamo $C$ tale che la restrizione del bundle canonico $K_{X_0}$ di $X_0$ per $C$è banale. Supponiamo che esista un morfismo birazionale appropriato$g:X \to Y$ contraente $C$ cioè $g$ induce un isomorfismo (sulla sua immagine) quando è limitato al complemento $X \backslash C$ e $C$ mappe fino a un punto in $Y$ (si può presumere che l'immagine di $C$ è un normale doppio punto in $Y$). Come$C$ è razionale, lo sappiamo $N_{C|X}$ è della forma $\mathcal{O}_C(a) \oplus \mathcal{O}_C(b)$. Cosa possiamo dire in merito$a$ e $b$? C'è qualche tecnica standard per calcolare$a$ e $b$? Sarò molto interessato a conoscere riferimenti / letterature che studiano questioni simili (in breve normale fasci di curve razionali contrattabili in tre pieghe).

Answer 1

La sequenza esatta $$ 0 \to N_{C/X_0} \to N_{C/X} \to N_{X_0/X}\vert_C \to 0 $$ in questo caso si legge come $$ 0 \to \mathcal{O}_C(-2) \to N_{C/X} \to \mathcal{O}_C \to 0 $$ il che significa anche quello $(a,b) = (0,-2)$ (se la classe di estensione è banale) o $(a,b) = (-1,-1)$ (se la classe di estensione non è banale).