Finitezza di $\pi_n(Top/O)$

Question

Per $n>4$ uno può identificare $\pi_n(Top/O)$ tramite la teoria dello smoothing come classe di concordanza di strutture lisce $S^n$dove due strutture sono concordanti se legano una struttura liscia al prodotto con un intervallo. Ho visto che ha affermato che questi gruppi di omotopia sono finiti, ad esempio quando viene affermato$BO \rightarrow BTop$ è un'equivalenza razionale.

Si vorrebbe usare il lavoro di Kervaire e Milnor che mostra la finitezza delle sfere di omotopia orientate, ma non vedo come passare da un'affermazione sul tipo di diffeomorfismo a un'affermazione sulla classe di concordanza. È vero che una sfera concordante equivale a diffeomorfa? Questa concordanza implica diffeomorfismo è vera per il teorema di h-cobordismo, ma credo che per alcune varietà almeno l'altro modo non sia valido.

Answer 1

Qui essenzialmente sto solo ripetendo ciò che Siebenmann ha scritto nell'Essay V del volume di Kirby-Siebenmann mentre sto recuperando alcune definizioni dalle prime sezioni:

Permettere $n \geq 5$. Con il lavoro di Kirby e Siebenmann sulla connettività di$Top(n)/O(n) \rightarrow Top/O$, $\pi_n(Top/O)=\pi_n(Top(n)/O(n))$. Quest'ultimo è ciò con cui sceglieremo di lavorare. Nella sezione 5.3 lo spazio$\Omega^n Top(n)/O(n)$ è stato identificato con lo spazio di lisciatura di $S^n$rispetto a un disco con struttura liscia standard. Quindi,$\pi_n(Top(n)/O(n))$ sono le classi di concordanza di tali strutture lisce.

Possiamo considerare l'inclusione di tali levigazioni nelle levigazioni omotopiche di $S^n$relativo a un disco (forse fino all'h-cobordismo?). La suriettività segue dalla congettura di Poincaré e l'iniettività da ciò che Siebenmann chiama "isotopia di Alexander", non sono sicuro di cosa si tratti.

Quindi questa serie di levigazioni omotopiche di $S^n$ rispetto a un disco ha una mappa per il gruppo di sfere di omotopia orientate data utilizzando l'equivalenza di omotopia per trasportare l'orientamento di $S^n$alla sfera dell'omotopia e poi dimenticando l'equivalenza dell'omotopia. Questa mappa è suriettiva poiché ogni sfera di omotopia contiene un disco standard. La cosa principale per mostrare l'iniettività è che fino all'orientamento c'è una singola classe di isotopia di dischi incorporati nella nostra sfera di omotopia.

Questa catena di biiezioni lo dimostra $\pi_n(Top/O)$ per $n\geq 5$ è $\Theta_n$, il gruppo di sfere di omotopia orientate. Penso che qualsiasi sottigliezza in questa dimostrazione deriverebbe dal mostrare che includere i livellamenti negli omotopi è iniettivo, quindi approfondirò l '"isotopia di Alexander".