Formula proposizionale e traduzione

Question

Sulla base della seguente abbreviazione: $A$ - Sanders è il leader; $B$ - La Florida è nel sud; $C$ - Joe è il fratello di Sanders; $D$ - Sanders è della Florida, traduci la seguente formula simbolica in inglese naturale.

$A \Rightarrow (B \Rightarrow (C \Rightarrow D))$

Ho pochissimo background per l'uso alternativo di "se-allora" e quindi, sarei fortemente accolto se qualcuno potesse suggerire idee su come tradurlo in una frase normale?

Answer 1

La prima cosa che farei è eliminare alcune delle implicazioni usando il fatto che per qualsiasi termine proposizionale $p$ e $q$, l'implicazione $p \to q$ è logicamente equivalente a $\neg p \vee q$, dove $\neg$ si legge come "non" un $\vee$come "o" in inglese naturale; per qualche spiegazione di questo fatto puoi consultare questo post MSE . Se lo lascio$\equiv$ essere il simbolo che denota la relazione "è logicamente equivalente a", abbiamo le seguenti equivalenze:

$$\begin{align} A \to (B \to (C \to D)) &\equiv A \to( B \to (\neg C \vee D))\\ &\equiv A \to (\neg B \vee (\neg C \vee D)) \\ &\equiv A \to (\neg B \vee \neg C \vee D )\end{align} $$

Pertanto si potrebbe tradurre la tua formula logica data in inglese naturale come:

Se Sanders è il leader, allora o la Florida non è nel sud, o Joe non è il fratello di Sanders o Sanders è della Florida.

Answer 2

$$\begin{align} A \to (B\to (C \to D)) &\equiv A \to ((B \land C) \to D)\\ \\ &\equiv (A\land B \land C) \to D\tag 1\\ \\ &\equiv \lnot (A \land B \land C) \lor D\\ \\ &\equiv (\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C) \lor D\tag 2\\ \\ &\equiv \lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C \lor D\end{align}$$

$(1)$ Questo si basa sull'equivalenza di $$p \to (q \to r) \equiv (p\land q) \to r$$

$(2)$ questo è basato su $(1)$ e il fatto che $\lnot p \to q \equiv p \lor q$. (Nota questo è perché$p \to q \equiv \lnot p \lor q$.)

Answer 3

Per espandere la risposta di Ricks, $A\rightarrow(B\rightarrow(C\rightarrow D))$, che è equivalente a $\lnot A\lor\lnot B\lor\lnot C\lor D$, è a sua volta uguale a $\lnot (A\land B\land C)\lor D$( usando la legge di de Morgans ). Questo può essere abbreviato in$(A\land B\land C)\rightarrow D$utilizzando la definizione di implicazione menzionata da Rick.

$(A\land B\land C)\rightarrow D$ si traduce in modo molto più naturale in inglese:

Se Sanders è il leader, la Florida è nel sud e Joe è il fratello di Sanders, allora Sanders è della Florida.