Giocatori e biglietti
Sei tra N giocatori che giocheranno una competizione. Una lotteria viene utilizzata per determinare la posizione di ciascun giocatore. Hai un vantaggio. Due biglietti con il tuo nome vengono messi in un cappello, mentre per ciascuno degli altri giocatori viene messo nel cappello un solo biglietto con il suo nome. Il cappello è ben scosso ei biglietti vengono estratti uno ad uno dal cappello. L'ordine dei nomi che compaiono determina il posizionamento di ogni giocatore. Qual è la probabilità che ti venga assegnato il file$n$esimo posizionamento per $n = 1, 2, . . . , N$?
La probabilità che venga estratto il mio nome $k$esimo tentativo è $\frac{2}{N}(\frac{N-2}{N})^{k-1}$ (cioè dire $k-1$ fallimenti prima del primo successo in $k$). So che la soluzione è$\prod_{k=1}^{n-1}\frac{2}{2+N-n}\frac{N-k}{2+N-k}$.
Permettere $A_i$ essere l'evento in cui compare il mio nome compairs $i$esimo tentativi. Così:
$\mathbb{P}(A_1)=\frac{2}{N+1}$;
$\mathbb{P}(A_2)=\mathbb{P}(\bar{A_1})\mathbb{P}(A_2|\bar{A_1})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{2}{N})$
$\mathbb{P}(A_3)=\mathbb{P}(\bar{A_1}\cap \bar{A_2})\mathbb{P}(A_3|\bar{A_1}\cap \bar{A_2})=(\frac{N-1}{N+1})(\frac{N-2}{N})(\frac{2}{N-1})$.
Così ho pensato che
$\mathbb{P}(A_n)=(\frac{N-1}{N+1})\cdot (\frac{N-2}{N})\cdot ... \cdot (\frac{N-n-1}{N+1-n})\cdot (\frac{2}{N-n})$
ma non posso portarmi al prodotto di cui sopra. Dove mi sbaglio?
Risposte
Ottengo (quasi) lo stesso risultato che hai tu, supponendo "Una volta che un nome è stato estratto e posizionato, tutti i biglietti futuri con quel nome vengono ignorati":
$(\color{green}{\text{green part edited}})$ $$\mathbb{P}(A_n)=\left(\frac{N-1}{N+1}\right)\cdot \left(\frac{N-2}{N}\right)\cdot ... \cdot \color{red}{\left(\frac{N-n+1}{N+3-n}\right)}\cdot \left(\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\right),$$
ci sono $n-1$ termini relativi al primo $n-1$pareggi non riusciti e l'ultimo con il pareggio riuscito. I denominatori diminuiscono di 1 in ogni fattore poiché il numero di biglietti da cui prelevare diminuisce di 1 dopo ogni estrazione. Per la prima$n-1$ termini (le estrazioni non riuscite) anche l'enumeratore diminuisce di 1, quindi la differenza tra denominatore ed enumeratore sarà sempre $2$ in questi termini (che rappresentano i tuoi 2 biglietti).
Quel risultato può essere scritto come
$$\frac{2}{N\color{green}{+2}-n}\prod_{k=1}^{n-1}\frac{N-k}{N+2-k}.$$
La tua "soluzione nota" è dare il prodotto vuoto per $n=1$, quindi ciò significherebbe probabilità 1, che ovviamente non è corretta. Quindi per favore controlla se l'hai copiato correttamente.
La tua soluzione si semplifica ampiamente. Per qualche motivo, \ cancel non funziona, quindi ho cercato di indicare cosa intendo mostrando i termini che cancellano nello stesso colore. Sfortunatamente posso mostrare solo i primi termini in questo modo.
$$\frac{\color{red}{N-1}}{N+1}\frac{\color{blue}{N-2}}{N} \frac{\color{green}{N-3}}{\color{red}{N-1}} \frac{\color{orange}{N-4}}{\color{blue}{N-2}}\dots $$
Ecco un modo migliore per farlo.
Permettere $1\leq n\leq N$essere dato.
Permettere$A$ essere l'evento in cui il tuo nome è sul $n$esimo biglietto. Permettere$B$ essere l'evento che hai nominato non è su nessuno dei biglietti $1,2,\dots,n-1$. Noi cerchiamo$\Pr(A\cap B)$.
$$\Pr(A\cap B) = \Pr(A)\Pr(B|A) = \boxed{\frac2{N+1}\frac{N+1-n}{N}}$$
Il primo termine è ovvio. Per il secondo, ci sono$N$ luoghi in cui può essere l'altro biglietto con il tuo nome e $N+1-n$ di loro vengono dopo il $n$esimo biglietto.
Se esegui la semplificazione sopra descritta, arriverai a questa semplice risposta.
Forse non capisco come viene condotto questo esperimento di probabilità, ma sto ottenendo una risposta diversa da chiunque altro. Forse qualcuno può sottolineare perché il mio ragionamento è improprio, se qualcuno lo è?
Supponiamo che una volta scelto il nome di un giocatore, eventuali biglietti futuri con quel nome vengano ignorati.
Il numero di modi in cui è possibile estrarre i biglietti in modo che il tuo nome venga visualizzato nel file $n^{th}$ lo slot è ${2 \choose 1} \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)!$
Il numero di modi in cui i biglietti possono essere estratti in totale è ${2 \choose 1}\cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N!$
Dividendo questi due si ottiene l'ambita probabilità di $$\frac{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot (N-1)! }{ 2 \cdot {{N-1} \choose {N-1}} \cdot N! }=\frac{1}{N}$$
Per vedere questo possiamo guardare un esempio specifico. Supponi di essere la persona n. 1 con cui stai giocando a una lotteria$N-1=2$ altre persone e $ \{1,1^*\} $ rappresenta i tuoi due biglietti che contribuiscono dal file $N+1=4$biglietti nel cappello. Indicheremo la raccolta di tutti i biglietti nel cappello di$\{1,1^*,2,3\}$. Possiamo elencarli tutti${2 \choose 1}\cdot {{3-1} \choose {3-1}} \cdot 3!=12$ possibili ordinamenti dei nomi esplicitamente: $$\{1,2,3\}, \{ 1,3,2\}, \{ 2,1,3\}, \{ 3,1,2\}, \{2,3,1 \},\{3,2,1 \}$$ $$\{1^*,2,3\}, \{ 1^*,3,2\}, \{ 2,1^*,3\}, \{ 3,1^*,2\}, \{2,3,1^* \},\{3,2,1^*\}$$ La probabilità che ti venga assegnato il file $n^{th}$ il posizionamento è $ \frac{1}{N}=\frac{1}{3}$ per $n=1,2,3$ il che ha un senso totale per me.