Gruppi minimi non risolvibili

Question

Per "gruppo minimo non risolvibile" intendo un gruppo non risolvibile i cui sottogruppi propri sono risolvibili.

Ho bisogno di una prova o di un controesempio per la seguente proposizione:

Permettere $G$essere un gruppo minimo finito non risolvibile. Quindi si verifica una delle seguenti condizioni:

(un) $G$ è un gruppo semplice finito non abeliano;

(b) $G$ ha un sottogruppo normale di primo ordine $N$, in modo tale che il gruppo quoziente $\dfrac{G}{N}$ è un gruppo semplice finito non abeliano.

Grazie in anticipo

Answer 1

Non è vero. Un controesempio è un'estensione non suddivisa$2^3.L_3(2)$ di un gruppo di ordine abeliano elementare $8$ dal gruppo semplice ${\rm SL}(3,2)$.

Poi $G$ ha un normale sottogruppo $N$ con $G/N$ semplice, ma $N$ non ha ordine principale.