Identità integrale del percorso

Question

Sto leggendo i Background Field Methods nelle EPFL Lectures on GR come EFT . Gli autori usano questa identità a pagina 23, equazione (174):$$ \mathcal{N}^{-1}\int\mathcal{D}\phi\,\mathcal{D}\phi^*\exp\{-i\int\mathrm{d}^4x\,\phi(\square+v(x))\phi^*\} = \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))}\tag{174} $$che è solo un integrale gaussiano standard (percorso). Ma continuano a usare questo:$$ \frac{\mathcal{N}^{-1}}{\det(\square+v(x))} = \mathcal{N}^{-1}\exp\{-\int\mathrm{d}^4x\,\langle x|\text{Tr}\ln(\square+v(x))|x\rangle\} \tag{174}$$che non capisco completamente. Questo fa uso di$\log \det \mathbf{A} = \text{Tr} \log \mathbf{A}$? In tal caso, perché è presente un integrale in$\exp$ - Non dovrebbe esserci una funzione delta corrispondente per "annullarla"?

Answer 1

1. Sì, OP ha ragione: le lezioni utilizzano l' integrazione del percorso gaussiano e l'identità$$ \det A~=~e^{{\rm tr}\ln A}\quad \Leftrightarrow \quad \frac{1}{\det A}~=~e^{-{\rm tr}\ln A} \tag{i}$$in eq. (174).

2. Successivamente le lezioni utilizzano la relazione di completezza $$\int\mathrm{d}^4x\,|x\rangle \langle x|~=~{\bf 1} \tag{ii}$$ e $$ {\rm tr}[A|x\rangle \langle x|]~=~ \langle x|A|x\rangle\tag{iii} $$in eq. (174).

3. La traccia superstite sull'RHS dell'ultima eq. (174) potrebbe essere ad esempio una traccia di sapore e indica che la traccia nell'eq. (iii) è solo una traccia parziale .

Answer 2

Sì, hai ragione, l'identità del logaritmo determinante è stata utilizzata sopra. Per quanto riguarda l'esponenziale, è stato utilizzato il seguente (dal libro Field Quantization di Greiner, Reinhardt, capitolo 11, pagina 353):
$ \int {d^D v \exp \big\{ {- \frac{1}{2} v^T A v} \big\}} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}} \exp \big\{ {- \frac {1}{2} Tr ln A} \big\} = \big(2\pi\big)^{\frac{D}{2}}\big(det A \big)^{-\frac{1}{2}} $

La prova di quanto sopra è anche fornita qui. Il$2\pi$Molto probabilmente sono già assorbite nella costante di accompagnamento. L'espressione data nella tua domanda è (molto probabilmente) un integrale di azione nel formalismo di Feynman (integrale di percorso) ed è per questo che il$-i$ c'è - il punto cruciale del formalismo di Feynman è che l'azione può essere scritta come $ \exp \big\{\frac{-i S}{\hbar}\big\} $. Saluti!