Il gruppo di Clifford è finito?

Question

Per qualsiasi fisso$n$, come dimostriamo che il$n$-qubit Gruppo Clifford (sottogruppo di$ U(2^n) $generato da porte Hadmard, porte a sfasamento e porte CNOT) è finte o no? So che per il caso del singolo qubit, in cui sono coinvolte solo le porte H e S, è un gruppo finito poiché queste due porte corrispondono a$\pi$rotazioni sulla sfera di Bloch lungo assi che manifestano simmetria. Immagino che rimanga limitato nel caso multi-qubit, ma non sono riuscito a trovare un modo per dimostrarlo rigorosamente.

Inoltre, se è finito, qual è l'espressione del numero di elementi del gruppo in funzione di$n$?

Answer 1

A volte c'è un po' di confusione intorno al gruppo di Clifford in campo... ed è una questione di definizione.

Molte persone definiscono il gruppo di Clifford$\mathrm{Cl}_n(p)$di$n$qudit di prima dimensione$p$come normalizzatore unitario del gruppo Pauli generalizzato (ad es. Gottesman, Nielsen e Chuang). In quanto tale, chiaramente non è un gruppo finito come lo è il centro$U(1)$.

Tuttavia, anche questa è una cattiva definizione, sia dal punto di vista matematico che fisico. Come mai? Primo, perché il centro è matematicamente noioso e non aggiunge nulla alla struttura del gruppo e secondo, perché la fase globale di un unitario non è fisica.

Ci sono tre modi per risolverlo:

1. Definiscilo in base ai suoi generatori (vedi l'articolo di Gottesman sui generatori di dimensione superiore). Quindi, è chiaro che è finito poiché tutti i generatori hanno voci di matrice algebrica. Usando i generatori standard, otterrai comunque un centro troppo grande nel caso dei qubit:$\mathbb{Z}_8$. Quello minimo lo è$\mathbb{Z}_4$nel caso dei qubit an$\mathbb{Z}_p$nel caso qudit. Ridefinire il$H$cancello come$\frac{1+i}{\sqrt{2}} H$rende il centro minimo per i qubit.
2. Puoi definirlo come normalizzatore nel gruppo unitario con voci in$\mathbb{Q}[i]$(numeri complessi razionali). Questo ti darà un gruppo con un centro minimo (vedi Rif. 1).
3. Definisci il gruppo proiettivo$\overline{\mathrm{Cl}}_n(p):=\mathrm{Cl}_n(p)/U(1)$, o equivalentemente, l'immagine sotto la rappresentazione aggiunta, cioè~i canali unitari associati a Cliffords. I suoi elementi possono essere visti come permutazioni degli operatori di Pauli (possibilmente con fasi aggiunte) che conservano le relazioni di commutazione. Dal momento che ci sono$p^{2n}$Operatori Pauli, il numero di permutazioni è finito (e quindi è$\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)$). Inoltre, tiene$$ \overline{\mathrm{Cl}}_n(p)/\overline{\mathcal{P}}_n(p) \simeq \mathrm{Sp}_{2n}(p), $$dove$\overline{\mathcal{P}}_n(p)$è il gruppo (generalizzato) Pauli fino a fasi e$\mathrm{Sp}_{2n}(p)$è il gruppo simplettico sul campo finito$\mathbb{F}_p$. La sua cardinalità è$$ |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1). $$Pertanto, il gruppo proiettivo di Clifford ha cardinalità$$ |\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)| = |\overline{\mathcal{P}}_n(p)| |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{2n} p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1) $$Per quelli non proiettivi bisogna moltiplicare per l'ordine del centro. Per un riferimento, vedere ad es. Rif. 2

Riferimenti:

1. Gabriele Nebe, EM Rains e NJA Sloane. “Gli invarianti dei gruppi di Clifford”
2. D. Gross, "Teorema di Hudson per sistemi quantistici a dimensione finita"