In trapezio $ABCD$, $AB \parallel CD$ , $AB = 4$ cm e $CD = 10$ cm.

Question

In trapezio $ABCD$, $AB \parallel CD$ , $AB = 4$ cm e $CD = 10$cm. Supponiamo le linee$AD$ e $BC$ intersecano ad angolo retto e le linee $AC$ e $BD$ quando esteso al punto $Q$ formano un angolo di $45^\circ$. Calcola l'area di$ABCD$.

Quello che ho provato : - Ecco l'immagine: -

Ora per trovare l'area di $ABCD$, Devo solo trovare la sua altezza, ma non riesco a trovarla.

posso capire che $\Delta AOB \sim \Delta COD$. Così :-$$\frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OD} = \frac{BO}{OC} = \frac{2}{5}$$ Quindi ho pensato $AO = 2x$ , $BO = 2y$ , $CO = 5y$ , $DO = 5x$.
Ora in$\Delta AOB$, dal teorema di Pitagora: -
$AO^2 + OB^2 = AB^2$
$\rightarrow 4x^2 + 4y^2 = 16$
$\rightarrow x^2 + y^2 = 4$

Anche $\Delta QAB \sim \Delta QDC$. Così:-$$\frac{QA}{AC} = \frac{QB}{BD}$$
ottengo $AC$ e $BD$ di nuovo dal Teorema di Pitagora, che mi dà: $$\frac{QA}{\sqrt{4x^2 + 25y^2}} = \frac{QB}{\sqrt{25x^2 + 4y^2}}$$

Non so come procedere dopo, poiché questo risultato mi dà solo quello $\left(\frac{QA}{OB}\right)^2 = \frac{21y^2 + 16}{21x^2 + 16}$. Inoltre non riuscivo a pensare a un modo per utilizzare il file$45^\circ$ angolo, tranne per il fatto che posso capire che il triangolo è ciclico.

Qualcuno può aiutare?

Answer 1

Permettere $OC = a$, $OD = b$. Così$OA=\frac{2}{5}OC$, $OB = \frac{2}{5} OD$.

(Nota che hai scambiato le etichette $C$ e $D$ in figura)

Lascia pure $AD=3x$, $BC=3y$, così che $QA=2x$, $QB=2y$.

abbiamo $a^2+b^2=100$

Di Pitagora, $$ (OA^2+OD^2)+(OB^2+OC^2)=9(x^2+y^2) $$ $$ \Rightarrow x^2+y^2=116/9 $$

Per regola del coseno in $\triangle QAB$, $$ 4x^2+4y^2-4\sqrt{2}xy=4^2 $$ $$\Rightarrow xy=\dfrac{40\sqrt{2}}{9}$$

Così $$ \begin{align} [ABCD] &= (1-\dfrac{4}{25})[QDC] \\ &=\dfrac{21}{25}(\frac{1}{2}\cdot QD\cdot QC\cdot\sin 45^{\circ})\\ &=\dfrac{21}{25}(\frac{1}{2}\cdot 5x\cdot5y\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}) \\ &=\boxed{\dfrac{140}{3}} \end{align} $$

Answer 2

Dal tuo lavoro $$(2x)^2+(2y)^2=4^2,$$ che dà $$x^2+y^2=4.$$ Anche, $$AD=\sqrt{DO^2+AO^2}=\sqrt{25y^2+4x^2}$$ e $$BC=\sqrt{25x^2+4y^2}.$$ Adesso molla $PABC$ essere parallelogramma.

Quindi, $P\in DC$, $AP=BC$, $$DP=DC-PC=10-4=6$$ e $$\measuredangle DAP=\measuredangle Q=45^{\circ}.$$ Quindi, per la legge dei coseni per $\Delta DAP$ otteniamo: $$\frac{25y^2+4x^2+25x^2+4y^2-36}{2\sqrt{(25x^2+4y^2)(25y^2+4x^2)}}=\frac{1}{\sqrt2}$$ o $$\frac{29\cdot4-36}{\sqrt2}=\sqrt{(25x^2+4y^2)(25y^2+4x^2)}$$ o $$3200=641x^2y^2+100(x^4+y^4)$$ o $$3200=441x^2y^2+100(x^2+y^2)^2,$$ che dà $$xy=\frac{40}{21}.$$ Ossia, $$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot DB=\frac{1}{2}\cdot7x\cdot7y=\frac{140}{3}.$$