Indicizzazione in DFT (da un vecchio documento)

Question

C'è un bel documento sulla spiegazione della DFT degli anni '60 in IEEE Una visita guidata della trasformata veloce di Fourier . L'autore utilizza le seguenti definizioni di DFT

DFT $$ X(j)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$

Inverso $$ x(k)=\frac{1}{N} \sum_{j=0}^{N-1} X(j) \exp \left(i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$

dove gli indici j = 0, 1, 2, ..., N-1 e similmente k = 0, 1, 2, ..., N-1.

Ora gli autori mostrano una figura, dove gli indici j e k vanno da 0 a N non N-1 . Supponiamo di avere 10 punti dati, quindi N = 10; e j e k dovrebbero essere compresi tra 0 e 9, non 10. È un errore tipografico nella figura?

Sembra che anche il suo N inizi da zero, quindi la cifra è coerente ma la formula di somma ha N-1.

Answer 1

Le cifre sono corrette. Puoi vedere che ci sono campioni negli indici$0,1,\ldots,N-1$. Non ci sono campioni mostrati all'indice$N$, né nel dominio del tempo né nel dominio della frequenza. Il valore$N$ è riportato solo in ascissa perché nel dominio della frequenza corrisponde alla frequenza di campionamento, e nel dominio del tempo corrisponde alla fine del segnale a tempo continuo rappresentato da $N$ campioni (se assumiamo che ogni campione rappresenti una porzione di lunghezza $\Delta T$).

Per una discussione molto dettagliata sulla definizione della durata effettiva di una sequenza a tempo discreto, dai un'occhiata alle risposte a questa domanda .