Insolite connessioni di numeri
Facciamo l'equazione $(DX)^2-Y^2= ± Z^5$ e $x,y$due numeri interi positivi maggiori di zero. Da alcuni fatti possiamo ottenere soluzioni dell'equazione precedente fornendo valori interi a$x,y$. Esempi:
Se $x=11$ e $y=2$ allora abbiamo la soluzione $11*(641)^2-(2122)^2=7^5$;
Se $x=5$ e $y=2$ allora abbiamo la soluzione $5*(305)^2-(682)^2=1^5$;
Se $x=7$ e $y=4$ allora abbiamo la soluzione $7*(2449)^2-(6484)^2=(-9)^5$.
Il puzzle è:
Potete presentare altre soluzioni simili?
Qual è il trucco per risolvere tali equazioni?
Risposte
Il processo di calcolo
Dato $x$ e $y$, calcola
$x-y^2=Z$,
così che
$(y-\sqrt{x})(y+\sqrt{x})=-Z$.
Prendere poteri, questo significa
$(y-\sqrt{x})^5(y+\sqrt{x})^5=-Z^5$.
Adesso lo sappiamo
$(y+\sqrt{x})^5$ è un numero nella forma $Y+X\sqrt{x}$ per alcuni numeri interi $X,Y$e quindi per coniugazione $(y-\sqrt{x})^5=Y-X\sqrt{x}$.
Quindi abbiamo trovato una soluzione
$(Y-X\sqrt{x})(Y+X\sqrt{x})=-Z^5$,
o in altre parole $DX^2-Y^2=Z^5$ con
$D=x$, $X=5y^4+10xy^2+x^2$, $Y=y^5+10xy^3+5x^2y$,
o nella notazione dell'OP $(DX)^2-Y^2=Z^5$ con
$D=\sqrt{x}$, $X=5y^4+10xy^2+x^2$, $Y=y^5+10xy^3+5x^2y$.
Un esempio
Cominciamo con l'esempio relativamente semplice $x=2,y=1$ e calcola come segue:
-
$Z=1$, $(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=-1$,
-
$(1+\sqrt{2})^5=1+5(\sqrt{2})+10(2)+10(2\sqrt{2})+5(4)+(4\sqrt{2})=41+29\sqrt{2}$,
-
$(41-29\sqrt{2})(41+29\sqrt{2})=(-1)^5$,
e la soluzione $2*(29)^2-(41)^2=1^5$, che può essere controllato dalla calcolatrice.
Come un altro esempio con un valore pari di $Z$, usiamo $x=3,y=1$ e prendi:
-
$Z=2$, $(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})=-2$,
-
$(1+\sqrt{3})^5=1+5(\sqrt{3})+10(3)+10(3\sqrt{3})+5(9)+(9\sqrt{3})=76+44\sqrt{3}$,
-
$(76-44\sqrt{3})(76+44\sqrt{3})=(-2)^5$,
e la soluzione $3*(44)^2-(76)^2=2^5$, che può essere controllato dalla calcolatrice.
Il mio processo di pensiero
L'intero puzzle sembra probabilmente avere qualcosa a che fare con
L'equazione di Pell e la teoria associata dei campi numerici algebrici,
in effetti il secondo degli esempi forniti nell'OP è in realtà una soluzione di questa equazione. La nuova caratteristica di questo puzzle, rispetto alle cose che ho imparato nei corsi universitari di teoria dei numeri, è il coinvolgimento delle quinte potenze. Come possiamo mettere in relazione i quinti poteri con
l'aritmetica della radice quadrata che consente soluzioni dell'equazione di Pell? Bene, se lo abbiamo$a-b\sqrt{d}$ dando origine a un numero intero $n$ quando moltiplicato per il suo coniugato, allora $(a-b\sqrt{d})^5$ allo stesso modo darà origine al numero intero $n^5$.
Ho quindi individuato il modello nei valori forniti che
$11-2^2=7$, $5-2^2=1$, $7-4^2=-9$,
il che mi ha confermato la direzione in cui avvicinarmi a questo puzzle.