$\int_{\Bbb{T}} e_n(\lambda) |\varphi(\lambda)|^2 = 0$ per tutti $n \neq 0$ implica $|\varphi|^2$ è quasi sicuramente costante

Question

Considera il gruppo del cerchio $\Bbb{T}\subseteq \Bbb{C}$ con la sua misura Haar $d \lambda$. Ho la seguente situazione:$\varphi \in L^2(\Bbb{T})$ ha norma $1$, ie $$\Vert \varphi\Vert_2^2 = \int_\Bbb{T} |\varphi|^2 d \lambda=1$$ Mettere $e_n(\lambda) = \lambda^n, n \in \Bbb{Z}$. Abbiamo la seguente situazione$$n \neq 0 \implies \int_\Bbb{T} e_n |\varphi|^2 d \lambda = 0$$

Lo posso dedurre $|\varphi|^2$ è costante quasi sicuramente?

Tentativo: ho provato a dimostrarlo $|\varphi|^2 \in L^2(\Bbb{T})$, così che $$|\varphi|^ 2 = \sum_{n \in \Bbb{Z}}\langle |\varphi|^2, e_n\rangle e_n= \langle |\varphi|^2, e_0\rangle e_0$$dal teorema di Plancherel. Tuttavia, non riesco a dimostrarlo$|\varphi|^2 \in L^2(\Bbb{T})$

Answer 1

Hai $g := |\varphi|^2 \in L^1(\mathbb{T})$ e $$\widehat{g}(n) = \int_{\mathbb{T}} g(x) \cdot \overline{x}^n \, dx = \int_{\mathbb{T}} e_{-n}(x) \cdot |\varphi(x)|^2 \, dx = 0$$ per ogni $n \in \mathbb{Z}$ con $n \neq 0$. inoltre$$\widehat{g}(0) = \int_{\mathbb{T}} |\varphi(x)|^2 \, dx = 1.$$ Ora controlla che la funzione costante $1 \in L^1(\mathbb{T})$ soddisfa anche $\widehat{1}(n) = 0$ per $n \in \mathbb{Z}$ con $n \neq 0$ e $\widehat{1}(0) = 1$. Poi$\widehat{g-1} = 0$ e quindi $g = 1$quasi ovunque dalla spiegazione nella tua ultima domanda .