Integrale di $\exp(-\|x\|_p)$

Question

$\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}$ Permettere $1 \leq p < \infty$ e lascia $d$essere un numero intero positivo. Lo voglio dimostrare$$I := \int_{\RR^d} \exp\left(-\|x\|_p\right) dx = \frac{(2\Gamma(1/p))^d}{p^{d-1}}\frac{\Gamma(d)}{\Gamma(d/p)}.$$ Dovuto al $L^p$norma, l'integrando non è radialmente simmetrico. Se converto in coordinate sferiche finisco con$$I = \Gamma(d) \int_{S^{d-1}} \frac{d\sigma(x)}{\|x\|_p^d} $$ dove $\sigma$è la misura sferica. Come devo procedere da qui? O in alternativa come devo calcolare questo integrale? Apprezzerei calcoli dettagliati!

Answer 1

Un approccio semplice è vederlo, per qualsiasi $f$ in modo tale che l'integrale sul LHS sottostante esista, abbiamo $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=K_{p,d}\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt,\tag{*}\label{maineq}$$ dove $K_{p,d}$ non dipende da $f$ (diciamo, sostituiamo $x=tg(y)$ dove $x=g(y)$ è una parametrizzazione di $\|x\|_p=1$; lo Jacobiano di tale sostituzione è della forma$t^{d-1}h(y)$ con qualche $h$ non dipende da $t$).

Trovare $K_{p,d}$, noi scegliamo $f$in modo che entrambi i lati di \ eqref {maineq} siano facili da calcolare. Prendere$f(t)=e^{-t^p}$: $$\int_{\mathbb{R}^d}f(\|x\|_p)\,dx=\left(\int_\mathbb{R} e^{-|x|^p}\,dx\right)^d=\big(2\Gamma(1/p)/p\big)^d,\\\int_0^\infty t^{d-1}f(t)\,dt=\int_0^\infty t^{d-1}e^{-t^p}\,dt=\Gamma(d/p)/p,$$ così che $K_{p,d}=\frac{2^d\Gamma^d(1/p)}{p^{d-1}\Gamma(d/p)}$. Per ottenere la risposta, resta da mettere$f(t)=e^{-t}$ in \ eqref {maineq}.