integrali per area nello spazio 3D

Question

Sono al primo anno di università e abbiamo iniziato a utilizzare integrali doppi e tripli in elettrostatica per calcolare le aree e i volumi di forme semplici come il cilindro. cercando di imparare la matematica che c'è dietro ho imparato a conoscere il giacobiano e il cambiamento delle variabili. ora capisco perché l'integrale triplo per il volume di un cilindro è quello che è dato che posso usare il jacobiano per ottenerlo da quello in cartesiano.$V(R)= \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \chi(R)dxdydz$ per $V(R)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \chi(R)\rho dzd\rho d\theta$ ma il problema è quando abbiamo calcolato l'area della superficie laterale del cilindro in classe utilizzando coordinate cilindriche. $\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{h}R dzd\theta$ Non sapevo come sarebbe stato l'integrale in cartesiano, tanto per cominciare ... ho anche visto alcuni usare il delta di Dirac per calcolarlo in cartesiano ma non so come manipolarli e non so come per trasformarlo in cilindrico, il mio obiettivo è provare l'uso degli integrali usati dal professore.

DOMANDA: qualcuno può mostrarmi come sarebbe in cartesiano l'integrale dell'area della superficie laterale di un cilindro? e se è complicato come trasformarlo in cilindrico.

Answer 1

Integrale in cartesiano

Un modo per trovare la superficie laterale è sommare le aree dei cerchi ispessiti di piccola altezza come "$\mathrm{d}z$". Per farlo, abbiamo prima bisogno della circonferenza di quei cerchi.

La circonferenza di un cerchio $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ (in altezza $z$) non cambia con l'altezza, quindi possiamo semplicemente lavorare in $xy$-aereo. Poi ci sono due semicerchi, uno dato da$y=\sqrt{R^{2}-x^{2}}$ e l'altra data da $y=-\sqrt{R^{2}-x^{2}}$. I semicerchi hanno ciascuno la stessa lunghezza, quindi possiamo trovare solo il doppio della lunghezza del primo. La formula della lunghezza dell'arco può essere trovata in Paul's Online Notes o in openstax Calculus Volume 2 . abbiamo$\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{R^{2}-x^{2}}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x$ per la lunghezza di un semicerchio, quindi il doppio è l'intera circonferenza.

Quindi possiamo moltiplicare queste circonferenze per una piccola altezza $\Delta z$, aggiungili e prendi un limite per trasformarlo nel seguente integrale:

\begin{align*} & \int_{0}^{h}\left(2\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{R^{2}-x^{2}}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\right)\,\mathrm{d}z\\ = & 2\int_{0}^{h}\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\left(-\dfrac{x}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\right)^{2}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z\\ = & 2\int_{0}^{h}\int_{-R}^{R}\sqrt{1+\dfrac{x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z\\ = & 2\int_{0}^{h}\int_{-R}^{R}\sqrt{\dfrac{R^{2}}{R^{2}-x^{2}}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z\\ = & 2\int_{0}^{h}\int_{-R}^{R}\dfrac{R}{\sqrt{R^{2}-x^{2}}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z\\ = & 2\int_{0}^{h}\int_{-R}^{R}\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(x/R\right)^{2}}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}z \end{align*}

Nota che il file inner $x$ integrale non dipende da $z$, quindi potremmo anche scrivere $$ 2\left(\int_{-R}^{R}\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(x/R\right)^{2}}}\,\mathrm{d}x\right)\left(\int_{0}^{h}1\,\mathrm{d}z\right) $$ $$ \text{or }\int_{-R}^{R}\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(x/R\right)^{2}}}2\int_{0}^{h}1\,\mathrm{d}z\right)\,\mathrm{d}x\text{.} $$ Quest'ultimo suggerisce un modo di pensare a questo tagliando fette per ogni valore di $x$, dove il $\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(x/R\right)^{2}}}$ rappresenta la curva del semicerchio.

Trasformare di nuovo in cilindrico

Per trasformare di nuovo in cilindrico, possiamo usare una sostituzione trigonometrica ( openstax , Paul's ). Noi usiamo$x=R\cos\theta$ e $\mathrm{d}x=-R\sin\theta\,\mathrm{d}\theta$ per convertire il file $x$ integrale sopra:

\begin{align*} & \int_{-R}^{R}\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(x/R\right)^{2}}}\,\mathrm{d}x\\ = & \int_{\theta\text{ when }x=-R}^{\theta\text{ when }x=R}\dfrac{1}{\sqrt{1-\left(R\cos\theta/R\right)^{2}}}\left(-R\sin\theta\right)\,\mathrm{d}\theta\\ = & \int_{\pi}^{0}\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos^{2}\theta}}\left(-R\sin\theta\right)\,\mathrm{d}\theta\\ = & \int_{\pi}^{0}\dfrac{-R\sin\theta}{\sqrt{\sin^{2}\theta}}\,\mathrm{d}\theta\\ = & \int_{\pi}^{0}\dfrac{-R\sin\theta}{\left|\sin\theta\right|}\,\mathrm{d}\theta\\ = & \int_{\pi}^{0}-R\,\mathrm{d}\theta\text{ since }\sin\theta\ge0\text{ on }[0,\pi]\\ = & \int_{0}^{\pi}R\,\mathrm{d}\theta \end{align*}

Ciò significa che l'intera area diventa $$ 2\left(\int_{0}^{\pi}R\,\mathrm{d}\theta\right)\left(\int_{0}^{h}1\,\mathrm{d}z\right)=\left(\int_{0}^{2\pi}R\,\mathrm{d}\theta\right)\left(\int_{0}^{h}1\,\mathrm{d}z\right)=\boxed{\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{h}R\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta} $$

Aree più generali

L'area laterale di un cilindro è un tipo di superficie molto speciale e ci sono tecniche più generali che possiamo usare per trovare l'area di essa e altre superfici.

Aree di rivoluzione

Il cilindro è una superficie di rivoluzione: per il cilindro in discussione, ruotiamo il segmento di linea $x=R,y=0,z\in[0,h]$ attorno a $z$-asse. Ruotando le cose intorno, questo avrebbe la stessa area della rotazione del segmento di linea$x=R$, $y\in[0,h]$ (sull'aereo $z=0$) attorno a $y$-asse. La formula standard ( Paul's , openstax ) per l'area laterale di una superficie di rivoluzione dà:

\begin{align*} & \int_{0}^{h}2\pi R\sqrt{1+\left(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}R\right)^{2}}\,\mathrm{d}y\\ = & 2\pi\int_{0}^{h}R\,\mathrm{d}y\\ = & \left(\int_{0}^{2\pi}1\,\mathrm{d}\theta\right)\int_{0}^{h}R\,\mathrm{d}y\\ = & \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{h}R\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}\theta\\ = & \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{h}R\,\mathrm{d}z\,\mathrm{d}\theta \end{align*}

Aree di superfici parametrizzate

Se fai più calcoli (potresti non imbatterti in questo in un primo studio di elettrostatica), potresti voler trovare la superficie di una superficie che non ha simmetria rotazionale, ma ha comunque una bella parametrizzazione. Questo è descritto in openstax Calculus Volume 3 e Paul's Online Calculus III Notes , per esempio.

Una cosa a cui prestare attenzione è che se hai qualcosa come una striscia di Moebius che ha solo un lato, potresti non calcolare l'area che intendi. Vedere la domanda di Math StackExchange " Area della striscia di Mobius " e le sue risposte per alcune discussioni.